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北海道大学 1975年理系第4問解説

方針・初手

ガウス記号 $[x]$ が含まれる極限の計算では、定義式 $x - 1 < [x] \le x$ から不等式を作り、はさみうちの原理を利用するのが定石である。**(1)**はこの基本手順に従う。 **(2)は無理式の極限であり、$\infty - \infty$ の不定形となるため、分子の有理化を行ってから(1)**の結果を利用する。 **(3)は正弦関数の中に発散する無理式が含まれているが、正弦関数の周期性 $\sin(\theta) = \sin(\theta - 2n\pi)$ （$n$ は整数）を用いて、(2)**の形を作り出す。

解法1

(1)

ガウス記号の定義より、任意の実数 $x$ に対して $x - 1 < [x] \le x$ が成り立つ。 $x = \frac{n}{3}$ を代入すると、以下の不等式を得る。

$$ \frac{n}{3} - 1 < \left[\frac{n}{3}\right] \le \frac{n}{3} $$

$n$ は自然数であり $n > 0$ としてよいから、各辺を $n$ で割ると次のようになる。

$$ \frac{1}{3} - \frac{1}{n} < \frac{\left[\frac{n}{3}\right]}{n} \le \frac{1}{3} $$

ここで、$n \to \infty$ とすると $\frac{1}{3} - \frac{1}{n} \to \frac{1}{3}$ である。したがって、はさみうちの原理により、求める極限値は次のようになる。

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{\left[\frac{n}{3}\right]}{n} = \frac{1}{3} $$

(2)

与式は $\infty - \infty$ の不定形であるため、分子を有理化するように式変形を行う。

$$ \begin{aligned} \sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} - n &= \frac{\left(\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} - n\right)\left(\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} + n\right)}{\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} + n} \\ &= \frac{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right] - n^2}{\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} + n} \\ &= \frac{\left[\frac{n}{3}\right]}{\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} + n} \end{aligned} $$

分母と分子を $n$ ($n>0$) で割ると、次のように変形できる。

$$ \frac{\frac{1}{n}\left[\frac{n}{3}\right]}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}\left[\frac{n}{3}\right]} + 1} $$

ここで、**(1)**の結果より $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\left[\frac{n}{3}\right] = \frac{1}{3}$ である。また、平方根の中にある項について考えると、次のように収束する。

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}\left[\frac{n}{3}\right] = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{\left[\frac{n}{3}\right]}{n} \right) = 0 \cdot \frac{1}{3} = 0 $$

したがって、求める極限値は次のようになる。

$$ \lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} - n\right) = \frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{6} $$

(3)

正弦関数の周期性 $\sin(\theta) = \sin(\theta - 2n\pi)$ （$n$ は整数）を利用する。この問題において $n$ は自然数であるから、$2n\pi$ を引いても値は変わらない。

$$ \begin{aligned} \sin\left(2\pi\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]}\right) &= \sin\left(2\pi\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} - 2n\pi\right) \\ &= \sin\left(2\pi\left(\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} - n\right)\right) \end{aligned} $$

**(2)**の結果より、$\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} - n\right) = \frac{1}{6}$ である。 $\sin x$ はすべての実数において連続な関数であるから、極限の操作を関数の内側に入れることができる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sin\left(2\pi\left(\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} - n\right)\right) &= \sin\left(2\pi \lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n^2 + \left[\frac{n}{3}\right]} - n\right)\right) \\ &= \sin\left(2\pi \cdot \frac{1}{6}\right) \\ &= \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

解説

ガウス記号を含む数列の極限の典型問題である。(1)ではさみうちの原理による定石処理を確認し、その結果を(2)、さらに**(2)の結果を(3)**で連鎖的に用いる誘導形式になっている。 **(2)**の無理式の有理化処理は計算ミスが起きやすい箇所であるが、最高次の項である $n^2$ を消去することで不定形を解消する典型手法である。 **(3)**のように、三角関数の偏角が $\infty$ に発散する極限では、周期性を利用して有限な値に収束する部分を取り出すのが基本的な解法となる。極限値を求める際に $\sin$ 関数が連続であることを用いている点にも注意したい。