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北海道大学 1985年理系第1問解説

方針・初手

行列の2乗に関する等式が与えられていることと、問われている2次方程式の係数がケーリー・ハミルトンの定理に現れる形であることに着目する。与えられた等式とケーリー・ハミルトンの定理から導かれる等式を辺々引き算し、行列 $A$ が単位行列の定数倍で表せるかどうかで場合分けを行って係数を特定する。

解法1

ケーリー・ハミルトンの定理より、行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ は以下の等式を満たす。

$$ A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O $$

また、与えられた条件 $A^2 + A = -E$ より、以下の等式が成り立つ。

$$ A^2 + A + E = O $$

上の2つの式の辺々を引き算すると、次が得られる。

$$ -(a+d+1)A + (ad-bc-1)E = O $$

変形して、以下の関係式を導く。

$$ (a+d+1)A = (ad-bc-1)E $$

ここで、行列 $A$ が $kE$（$k$ は実数）の形で表せるかどうかで場合分けを行う。

(i) $A = kE$ の形で表せるとき

$A = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ を与式 $A^2 + A + E = O$ に代入すると、以下のようになる。

$$ (k^2 + k + 1)E = O $$

したがって、$k^2 + k + 1 = 0$ が成り立つ必要がある。しかし、

$$ k^2 + k + 1 = \left( k + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} > 0 $$

であるため、これを満たす実数 $k$ は存在しない。$a, b, c, d$ は実数であるから $A$ の成分はすべて実数であり、矛盾する。よって、$A = kE$ となることはない。

(ii) $A = kE$ の形で表せないとき

もし $a+d+1 \neq 0$ であると仮定すると、関係式 $(a+d+1)A = (ad-bc-1)E$ の両辺を $a+d+1$ で割ることができ、以下のようになる。

$$ A = \frac{ad-bc-1}{a+d+1}E $$

これは $A$ が単位行列の定数倍であることを意味し、(i) の結果と矛盾する。

したがって、$a+d+1 = 0$ でなければならない。

$$ a+d = -1 $$

これを関係式に代入すると $0 \cdot A = (ad-bc-1)E$ となり、右辺も零行列になるため、以下のようになる。

$$ ad-bc-1 = 0 $$

$$ ad-bc = 1 $$

以上より、与えられた2次方程式 $x^2 - (a+d)x + ad - bc = 0$ に $a+d = -1$ と $ad-bc = 1$ を代入すると、以下のようになる。

$$ x^2 + x + 1 = 0 $$

この2次方程式の解を $\alpha$ とすると、$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ を満たす。この両辺に $(\alpha - 1)$ を掛けると、以下のようになる。

$$ (\alpha - 1)(\alpha^2 + \alpha + 1) = 0 $$

展開して整理すると、以下の式が得られる。

$$ \alpha^3 - 1 = 0 $$

$$ \alpha^3 = 1 $$

したがって、2次方程式の解の3乗は1となることが示された。

解説

行列の多項式についての典型問題である。与えられた等式とケーリー・ハミルトンの定理から $pA + qE = O$ の形を作り、$A \neq kE$ であることを論証した上で $p=0, q=0$ を導くという論理展開が最大のポイントとなる。$A$ が実成分の行列であるという条件（$a, b, c, d$ が実数）から、$k^2+k+1=0$ が実数解を持たないことを用いて $A \neq kE$ を示す過程を省略しないよう注意したい。