名古屋大学 1985年 理系 第2問 解説

方針・初手

(1) は、与えられた定義にしたがって行列 $B$ を計算し、$B = A^{-1}$ となる条件を求める。逆行列の公式から成分を比較し、最終的には「すべての実数 $a$ に対して、ある条件を満たす実数 $b$ が存在すること」の証明へと帰着させる。

(2) は、(1) の結果を用いて $A + A^{-1}$ を計算する。計算結果がスカラー行列（単位行列の実数倍）になることに着目して式の値を求める。後半の $A^5 = E$ の証明は、前半で求めた等式を利用して $A$ の多項式を導くのがスムーズである。

解法1

(1)

与えられた行列 $B$ を計算する。

$$ \begin{aligned} B &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a - \frac{1}{2} & -b \\ b & \frac{\sqrt{5}}{2} - a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} b & \frac{\sqrt{5}}{2} - a \\ a - \frac{1}{2} & -b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}}{2} - a & b \\ -b & a - \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned} $$

一方、$A$ の行列式を $\Delta$ とすると、

$$ \begin{aligned} \Delta &= \left(a - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{2} - a\right) - (-b)b \\ &= -a^2 + \frac{1+\sqrt{5}}{2}a - \frac{\sqrt{5}}{4} + b^2 \end{aligned} $$

$A^{-1}$ が存在して $B = A^{-1}$ となるためには、$\Delta \neq 0$ かつ

$$ \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}}{2} - a & b \\ -b & a - \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}}{2} - a & b \\ -b & a - \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

が成り立つことが必要十分である。 ここで、両辺の行列の $(1,1)$ 成分と $(2,2)$ 成分の和に注目すると、

$$ \left(\frac{\sqrt{5}}{2} - a\right) + \left(a - \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \neq 0 $$

であるから、行列のすべての成分が同時に $0$ になることはない。 したがって、各成分を比較して

$$ \frac{1}{\Delta} = 1 \iff \Delta = 1 $$

を得る。よって、

$$ -a^2 + \frac{1+\sqrt{5}}{2}a - \frac{\sqrt{5}}{4} + b^2 = 1 $$

これを $b^2$ について解くと、

$$ b^2 = a^2 - \frac{1+\sqrt{5}}{2}a + \frac{\sqrt{5}}{4} + 1 $$

右辺の $a$ の2次式を平方完成すると、

$$ \begin{aligned} b^2 &= \left( a - \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)^2 - \frac{6+2\sqrt{5}}{16} + \frac{4\sqrt{5}}{16} + \frac{16}{16} \\ &= \left( a - \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)^2 + \frac{10+2\sqrt{5}}{16} \end{aligned} $$

任意の（すべての）実数 $a$ に対して、$\left( a - \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)^2 \geqq 0$ であり、$\frac{10+2\sqrt{5}}{16} > 0$ であるから、右辺はつねに正となる。 ゆえに、どのような実数 $a$ を与えても $b^2 > 0$ となり、

$$ b = \pm \sqrt{a^2 - \frac{1+\sqrt{5}}{2}a + \frac{\sqrt{5}}{4} + 1} $$

として実数 $b$ を選ぶことが可能である。（証明終）

(2)

$b$ を (1) のように選んだとき、$B = A^{-1}$ が成り立つ。 これを用いて $A + A^{-1}$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} A + A^{-1} &= \begin{pmatrix} a - \frac{1}{2} & -b \\ b & \frac{\sqrt{5}}{2} - a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}}{2} - a & b \\ -b & a - \frac{1}{2} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned} $$

単位行列を $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とし、$c = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ とおくと、$A + A^{-1} = cE$ と表せる。 求める式の値は、

$$ (A + A^{-1})^2 + (A + A^{-1}) = (cE)^2 + cE = (c^2 + c)E $$

ここで、$c^2 + c$ の値を計算する。

$$ \begin{aligned} c^2 + c &= \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^2 + \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ &= \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} + \frac{2\sqrt{5} - 2}{4} \\ &= \frac{4}{4} = 1 \end{aligned} $$

したがって、

$$ (A + A^{-1})^2 + (A + A^{-1}) = E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

次に、$A^5 = E$ を示す。 上で得られた等式

$$ (A + A^{-1})^2 + (A + A^{-1}) = E $$

の両辺に $A^2$ を掛けると、

$$ A^2 \left( A^2 + 2E + A^{-2} + A + A^{-1} \right) = A^2E $$

展開して整理すると、

$$ A^4 + 2A^2 + E + A^3 + A = A^2 $$

$$ A^4 + A^3 + A^2 + A + E = O $$

この両辺にさらに $(A - E)$ を掛けると、

$$ (A - E)(A^4 + A^3 + A^2 + A + E) = O $$

左辺を展開すると $A^5 - E$ となるため、

$$ A^5 - E = O \iff A^5 = E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

が示された。（証明終）

解法2

(2) 後半の $A^5 = E$ を示す部分についての別解。

$A + A^{-1} = cE$ （ただし $c = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$）の両辺に右から $A$ を掛けると、

$$ A^2 + E = cA \iff A^2 = cA - E $$

これを用いて $A$ の累乗の次数を下げていく。

$$ \begin{aligned} A^3 &= A^2 \cdot A = (cA - E)A = cA^2 - A \\ &= c(cA - E) - A = (c^2 - 1)A - cE \end{aligned} $$

解法1の計算から $c^2 + c = 1$ すなわち $c^2 - 1 = -c$ であるから、

$$ A^3 = -cA - cE $$

さらに $A^4, A^5$ を順次計算する。

$$ \begin{aligned} A^4 &= A^3 \cdot A = (-cA - cE)A = -cA^2 - cA \\ &= -c(cA - E) - cA = -c^2A + cE - cA \\ &= -(c^2 + c)A + cE \\ &= -A + cE \quad (\because c^2 + c = 1) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} A^5 &= A^4 \cdot A = (-A + cE)A = -A^2 + cA \\ &= -(cA - E) + cA \\ &= E \end{aligned} $$

したがって、$A^5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ が示された。

解説

本問は、行列の計算と条件の同値変形、そして高次式の計算（行列の多項式）を問う総合的な問題である。 (1) では、行列の相等から全成分の比較をすることになるが、特定の成分が $0$ にならないことを確認した上で「行列式の値が $1$ になる」という条件に帰着させるのが見通しの良い方針である。 (2) の前半の式は、計算してみると $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ という「黄金比」に関連する値が現れる。この値 $c$ は $c^2+c-1=0$ を満たすことが知られており、後半の $A^5=E$ を示す上で決定的な役割を果たす。 解法1のように $(A+A^{-1})$ の等式に $A^2$ を掛けて因数分解の形に持ち込む方法は、設問の誘導と式の構造を活かした鮮やかな解法である。一方で、解法2のような2次式を用いた「次数下げ」は、行列の累乗計算における最も汎用性の高い標準的な手筋であるため、確実に習得しておきたい。

答え

(1) （証明は本文参照）

(2) $(A + A^{-1})^2 + (A + A^{-1}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ （$A^5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ の証明は本文参照）