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北海道大学 2001年理系第1問解説

方針・初手

(1) は $\omega$ を代入し、実部と虚部を比較して証明する。
(2) は (1) の結果を用いて、複素数の相等から実数 $s, t$ を $x, y$ で表す。$\omega$ が方程式 $x^2 + x + 1 = 0$ の解であることを利用して $\omega^2$ を消去する。
(3) は行列 $A$ の累乗を求めるため、ハミルトン・ケーリーの定理、または $A$ の表す変換の図形的意味（$\omega$倍）を利用する。

解法1

(1)

$\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ を $a+b\omega = c+d\omega$ に代入する。

$$ a + b \left( \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \right) = c + d \left( \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \right) $$

式を整理して、実部と虚部に分ける。

$$ \left( a - \frac{b}{2} \right) + \frac{\sqrt{3}b}{2}i = \left( c - \frac{d}{2} \right) + \frac{\sqrt{3}d}{2}i $$

$a, b, c, d$ は実数であるから、$a - \frac{b}{2}$、$c - \frac{d}{2}$、$\frac{\sqrt{3}b}{2}$、$\frac{\sqrt{3}d}{2}$ も実数である。複素数の相等条件より、実部と虚部がそれぞれ等しくなる。

$$ \begin{cases} a - \frac{b}{2} = c - \frac{d}{2} \\ \frac{\sqrt{3}b}{2} = \frac{\sqrt{3}d}{2} \end{cases} $$

第2式より $b = d$ である。これを第1式に代入すると、

$$ a - \frac{b}{2} = c - \frac{b}{2} $$

となり、$a = c$ を得る。以上より、$a = c$ かつ $b = d$ が成り立つ。

(2)

$\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ は、方程式 $z^2 + z + 1 = 0$ の解の1つであるから、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を満たす。すなわち、$\omega^2 = -\omega - 1$ である。

与えられた式 $s + t\omega = \omega(x + y\omega)$ の右辺を展開して $\omega^2$ を消去する。

$$ \begin{aligned} \omega(x + y\omega) &= x\omega + y\omega^2 \\ &= x\omega + y(-1 - \omega) \\ &= -y + (x - y)\omega \end{aligned} $$

したがって、次が成り立つ。

$$ s + t\omega = -y + (x - y)\omega $$

$s, t, x, y$ は実数であるから、(1) で示した事実を利用すると、定数項と $\omega$ の係数がそれぞれ等しくなる。

$$ \begin{cases} s = -y \\ t = x - y \end{cases} $$

これを行列を用いて表すと、次のようになる。

$$ \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

よって、求める行列 $A$ は次で与えられる。

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

(3)

(2) で求めた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ に対して、ハミルトン・ケーリーの定理を適用する。

$$ A^2 - (0 - 1)A + \{0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1\}E = O $$

$$ A^2 + A + E = O $$

この両辺に $A - E$ を左から掛ける。

$$ (A - E)(A^2 + A + E) = O $$

展開すると、

$$ A^3 - E = O $$

すなわち、$A^3 = E$ となる。したがって、任意の自然数 $n$ に対して、

$$ A^{3n} = (A^3)^n = E^n = E $$

となる。

解法2

(3)の別解

(2) の結果から、ベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に行列 $A$ を掛ける操作は、複素数 $x + y\omega$ に $\omega$ を掛ける操作に対応していることがわかる。

$\omega = \cos \frac{2}{3}\pi + i \sin \frac{2}{3}\pi$ であるから、$\omega$ を掛ける操作は複素数平面上において原点を中心とした $\frac{2}{3}\pi$ の回転移動を表す。これを 3 回繰り返すと $3 \times \frac{2}{3}\pi = 2\pi$ の回転となり、元の位置に戻る（すなわち恒等変換になる）。このことから、行列 $A$ を 3 回掛ける操作は単位行列 $E$ を掛ける操作と等しくなり、$A^3 = E$ を満たすことがわかる。

したがって、任意の自然数 $n$ に対して次が成り立つ。

$$ A^{3n} = (A^3)^n = E^n = E $$

解説

複素数と行列（一次変換）の対応関係を問う典型的な問題である。複素数 $z = x + yi$ をベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とみなす対応だけでなく、本問のように $1, \omega$ を基底として $z = x + y\omega$ と表し、その係数をベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対応させる表現も頻出である。この表現においても、複素数の積が行列の積に対応するという構造は保たれるため、(3) では $\omega^3 = 1$ が $A^3 = E$ にそのまま対応している。この背景を理解していると計算の確信を持ちやすい。