北海道大学 1985年 理系 第5問 解説

方針・初手

定積分で表された関数を含む方程式の問題である。 まずは与えられた方程式の両辺を $x$ で微分し、$f(x)$ とその導関数 $f'(x)$ を含む微分方程式を導くことが初手となる。 (1) では導出した微分方程式から $f'(x) = 0$ となる $x$ を探し、増減を調べる。方程式に具体的な値（積分区間の下端である $x = 0$）を代入することで、極値を具体的に求めることができる。 (2) では (1) で得られた微分方程式を変数分離形として解き、$f(x)$ を陽関数表示する。

解法1

(1)

与えられた方程式は以下の通りである。

$$ \{f(x)\}^3 + f(x) - \int_0^x t e^t \{f(t)\}^2 dt - 2 = 0 $$

両辺を $x$ について微分すると、合成関数の微分法および微積分学の基本定理より、次式を得る。

$$ 3\{f(x)\}^2 f'(x) + f'(x) - x e^x \{f(x)\}^2 = 0 $$

$f'(x)$ について整理すると、以下のようになる。

$$ f'(x) \left( 3\{f(x)\}^2 + 1 \right) = x e^x \{f(x)\}^2 $$

$$ f'(x) = \frac{x e^x \{f(x)\}^2}{3\{f(x)\}^2 + 1} $$

ここで、問題の条件より常には $f(x) \neq 0$ であり、また $f(x)$ は実数値関数であるから、$\{f(x)\}^2 > 0$ かつ $3\{f(x)\}^2 + 1 > 0$ である。 さらに、すべての実数 $x$ において $e^x > 0$ である。 したがって、$f'(x)$ の符号は $x$ の符号と一致する。

すなわち、増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$

これにより、$f(x)$ は $x = 0$ で極小かつ最小となり、極大値は持たない。

次に極小値 $f(0)$ を求める。 与えられた方程式に $x = 0$ を代入すると、定積分の項が $0$ になるため、次のようになる。

$$ \{f(0)\}^3 + f(0) - 2 = 0 $$

左辺を因数分解すると、

$$ (f(0) - 1) \left( \{f(0)\}^2 + f(0) + 2 \right) = 0 $$

ここで、$\{f(0)\}^2 + f(0) + 2 = \left( f(0) + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{4} > 0$ であるため、実数解は $f(0) = 1$ のみである。

したがって、$f(x)$ の極値は $x = 0$ のとき極小値 $1$ である。

(2)

(1) で導いた $f'(x)$ の関係式を変形して微分方程式を解く。

$$ f'(x) \frac{3\{f(x)\}^2 + 1}{\{f(x)\}^2} = x e^x $$

$$ \left( 3 + \frac{1}{\{f(x)\}^2} \right) f'(x) = x e^x $$

両辺を $x$ について積分する。

$$ \int \left( 3 + \{f(x)\}^{-2} \right) f'(x) dx = \int x e^x dx $$

左辺は $f(x)$ の積分、右辺は部分積分を用いて計算する。

$$ 3f(x) - \frac{1}{f(x)} = x e^x - \int e^x dx $$

$$ 3f(x) - \frac{1}{f(x)} = x e^x - e^x + C $$

$$ 3f(x) - \frac{1}{f(x)} = (x - 1)e^x + C \quad (C \text{ は積分定数}) $$

ここで (1) より $f(0) = 1$ であるから、両辺に $x = 0$ を代入して積分定数 $C$ を求める。

$$ 3 \cdot 1 - \frac{1}{1} = (0 - 1)e^0 + C $$

$$ 2 = -1 + C $$

$$ C = 3 $$

よって、次の方程式が得られる。

$$ 3f(x) - \frac{1}{f(x)} = (x - 1)e^x + 3 $$

両辺に $f(x)$ を掛け（$f(x) \neq 0$）、整理して $f(x)$ についての2次方程式の形にする。

$$ 3\{f(x)\}^2 - 1 = \{ (x - 1)e^x + 3 \} f(x) $$

$$ 3\{f(x)\}^2 - \{ (x - 1)e^x + 3 \} f(x) - 1 = 0 $$

解の公式を用いて $f(x)$ を解く。

$$ f(x) = \frac{(x - 1)e^x + 3 \pm \sqrt{\{ (x - 1)e^x + 3 \}^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} $$

$$ f(x) = \frac{(x - 1)e^x + 3 \pm \sqrt{\{ (x - 1)e^x + 3 \}^2 + 12}}{6} $$

$f(x)$ は連続関数であり、$f(0) = 1$ を満たさなければならないため、符号を判定する。 $x = 0$ を代入すると、

$$ \frac{(0 - 1)e^0 + 3 \pm \sqrt{\{ (0 - 1)e^0 + 3 \}^2 + 12}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6} $$

これが $1$ となるのは複号が $+$ のときである（$-$ のときは $-1/3$ となり不適）。

したがって、求める関数 $f(x)$ は以下のように決定される。

$$ f(x) = \frac{(x - 1)e^x + 3 + \sqrt{\{ (x - 1)e^x + 3 \}^2 + 12}}{6} $$

解説

積分方程式の典型的な処理である「両辺を微分する」手順と、「積分区間の下端の値を代入する」手順を組み合わせることで解き進めることができる。 (1) では導関数 $f'(x)$ を陽に表すことで、符号の変化が $x$ のみに依存することに気づけるかがポイントとなる。また、$f(x)$ が実数であることを用いて不要な解を棄却する。 (2) は典型的な変数分離形の微分方程式である。両辺を積分し、(1) で求めた初期条件 $f(0) = 1$ を用いて積分定数を決定し、解の公式を用いて $f(x)$ を陽関数表示する。最後に初期条件を用いて複号を決定するプロセスも頻出である。

答え

(1) 極小値 $1$ （$x = 0$ のとき）。極大値はなし。

(2) $f(x) = \frac{(x - 1)e^x + 3 + \sqrt{\{ (x - 1)e^x + 3 \}^2 + 12}}{6}$