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九州大学 1987年理系第2問解説

方針・初手

積分区間の上端に変数が含まれる定積分の方程式（積分方程式）であるため、両辺を $x$ で微分して微分方程式に帰着させる。また、与式の $x$ に下端と同じ値である $0$ を代入することで、関数 $f(x)$ の初期条件を求めることができる。

解法1

(1)

与えられた等式

$$(x^2+1)f(x) = \int_0^x \left\{ t^2 f'(t) + \frac{4t}{t^2+1} f(t) \right\} dt + 1$$

の両辺に $x=0$ を代入すると、積分の項が $0$ になるため、

$$(0+1)f(0) = 0 + 1$$

$$f(0) = 1$$

を得る。次に、与式の両辺を $x$ で微分すると、積の微分法および定積分の微分の公式により、

$$2xf(x) + (x^2+1)f'(x) = x^2 f'(x) + \frac{4x}{x^2+1} f(x)$$

となる。$f'(x)$ と $f(x)$ について整理する。

$$(x^2+1)f'(x) - x^2 f'(x) = \frac{4x}{x^2+1} f(x) - 2x f(x)$$

$$f'(x) = \frac{4x - 2x(x^2+1)}{x^2+1} f(x)$$

$$f'(x) = \frac{-2x^3 + 2x}{x^2+1} f(x)$$

$f(0) = 1 \neq 0$ であり、$f(x)$ は連続関数であることから、恒等的に $f(x)=0$ となることはない。両辺を $f(x)$ で割り、右辺の分子を整式の割り算により変形すると、

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{-2x(x^2+1) + 4x}{x^2+1} = -2x + \frac{4x}{x^2+1}$$

両辺を $x$ で積分する。

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \left( -2x + \frac{4x}{x^2+1} \right) dx$$

$$\log |f(x)| = -x^2 + 2\log(x^2+1) + C \quad (C \text{ は積分定数})$$

対数の性質を用いて整理すると、

$$\log |f(x)| = -x^2 + \log(x^2+1)^2 + C$$

$$|f(x)| = e^{-x^2 + \log(x^2+1)^2 + C} = e^C (x^2+1)^2 e^{-x^2}$$

$$f(x) = \pm e^C (x^2+1)^2 e^{-x^2}$$

$\pm e^C = A$ （$A$ は $0$ でない定数）とおくと、

$$f(x) = A(x^2+1)^2 e^{-x^2}$$

ここで、初期条件 $f(0) = 1$ を用いると、

$$1 = A(0+1)^2 e^0$$

$$A = 1$$

よって、求める関数は、

$$f(x) = (x^2+1)^2 e^{-x^2}$$

(2)

(1) の結果、または途中で得られた関係式を利用して増減を調べる。関係式より、

$$f'(x) = \frac{-2x(x^2-1)}{x^2+1} f(x) = \frac{-2x(x+1)(x-1)}{x^2+1} (x^2+1)^2 e^{-x^2}$$

$$f'(x) = -2x(x+1)(x-1)(x^2+1) e^{-x^2}$$

すべての実数 $x$ に対して $x^2+1 > 0$ かつ $e^{-x^2} > 0$ であるため、$f'(x)$ の符号は $-2x(x+1)(x-1)$ の符号と一致する。 $f'(x) = 0$ となるのは、$x = -1, 0, 1$ のときである。増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

それぞれの $x$ における $f(x)$ の値は、

$$f(-1) = ((-1)^2+1)^2 e^{-(-1)^2} = 4e^{-1} = \frac{4}{e}$$

$$f(0) = (0^2+1)^2 e^0 = 1$$

$$f(1) = (1^2+1)^2 e^{-1^2} = 4e^{-1} = \frac{4}{e}$$

したがって、極大値と極小値が定まる。

解説

定積分で表された関数の扱いとして、両辺を微分して微分方程式を導く典型的な問題である。微分する前に $x=0$ を代入して初期条件を求めておくことが重要である。また、導かれた微分方程式は変数分離形となっており、両辺を積分する際に分数の形を $\frac{\text{分子}}{\text{分母}}$ のまま積分するのではなく、次数を下げて $\frac{f'(x)}{f(x)} = -2x + \frac{4x}{x^2+1}$ のように部分分数分解（または多項式との和）の形に直す操作が求められる。 (2)の微分計算においては、(1)で求めた $f(x)$ を直接微分してもよいが、(1)の途中で得られた $f'(x)$ と $f(x)$ の関係式を活用すると計算量が少なくなり、符号の判定も容易になる。