北海道大学 1987年 理系 第2問 解説

方針・初手

直線 $l_1, l_2$ の方程式の形から、これらが原点を通り、それぞれ $x$ 軸の正の向きとなす角が $\alpha, \beta$ である直線であることを読み取るのが第一歩である。 (1) では、原点を通る直線に関する対称移動が、回転移動と $x$ 軸に関する対称移動の合成として表せることを利用する。 (2) は (1) の結果を行列の積として計算し、三角関数の加法定理を用いて整理する。 (3) は (2) の結果が回転行列であることを利用して、回転角に関する条件式を導く。

解法1

(1)

直線 $l_1 : y \cos\alpha - x \sin\alpha = 0$ は、原点を通り、方向ベクトルが $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ の直線である。すなわち、$x$ 軸の正の向きとなす角が $\alpha$ の直線である。 直線 $l_1$ に関する対称移動は、以下の3つの変換の合成として表すことができる。

1. 原点を中心として $-\alpha$ だけ回転させる（これにより $l_1$ は $x$ 軸に重なる）。
2. $x$ 軸に関して対称移動させる。
3. 原点を中心として $\alpha$ だけ回転させる。

原点中心の角 $\phi$ の回転を表す行列を $R(\phi) = \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix}$ とし、$x$ 軸に関する対称移動を表す行列を $S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ とおくと、行列 $A$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} A &= R(\alpha) S R(-\alpha) \\ &= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha) \\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos^2\alpha - \sin^2\alpha & 2\sin\alpha\cos\alpha \\ 2\sin\alpha\cos\alpha & \sin^2\alpha - \cos^2\alpha \end{pmatrix} \end{aligned} $$

2倍角の公式を用いると、

$$ A = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} $$

となる。

(2)

直線 $l_2 : y \cos\beta - x \sin\beta = 0$ についても (1) と同様に考えると、行列 $B$ は $A$ の $\alpha$ を $\beta$ に置き換えたものになる。

$$ B = \begin{pmatrix} \cos 2\beta & \sin 2\beta \\ \sin 2\beta & -\cos 2\beta \end{pmatrix} $$

よって、積 $AB$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} AB &= \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos 2\beta & \sin 2\beta \\ \sin 2\beta & -\cos 2\beta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos 2\alpha \cos 2\beta + \sin 2\alpha \sin 2\beta & \cos 2\alpha \sin 2\beta - \sin 2\alpha \cos 2\beta \\ \sin 2\alpha \cos 2\beta - \cos 2\alpha \sin 2\beta & \sin 2\alpha \sin 2\beta + \cos 2\alpha \cos 2\beta \end{pmatrix} \end{aligned} $$

加法定理 $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ および $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ を用いると、

$$ AB = \begin{pmatrix} \cos(2\alpha - 2\beta) & -\sin(2\alpha - 2\beta) \\ \sin(2\alpha - 2\beta) & \cos(2\alpha - 2\beta) \end{pmatrix} $$

$\alpha - \beta = \theta$ であるから、$2\alpha - 2\beta = 2\theta$ となり、

$$ AB = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{pmatrix} $$

となる。

(3)

(2) より、$AB$ は原点を中心とする角 $2\theta$ の回転を表す行列である。 したがって、$(AB)^2$ は原点を中心とする角 $4\theta$ の回転を表す行列となる。

$$ (AB)^2 = \begin{pmatrix} \cos 4\theta & -\sin 4\theta \\ \sin 4\theta & \cos 4\theta \end{pmatrix} $$

一方、$BA$ は $AB$ の導出において $\alpha$ と $\beta$ を入れ替えたものであるから、(2) の結果で $\theta = \alpha - \beta$ を $-\theta = \beta - \alpha$ に置き換えればよい。

$$ \begin{aligned} BA &= \begin{pmatrix} \cos(-2\theta) & -\sin(-2\theta) \\ \sin(-2\theta) & \cos(-2\theta) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & \cos 2\theta \end{pmatrix} \end{aligned} $$

$(AB)^2 = BA$ が成り立つとき、両辺の行列の各成分が等しいので、

$$ \begin{cases} \cos 4\theta = \cos 2\theta \\ \sin 4\theta = -\sin 2\theta \end{cases} $$

第2式より、

$$ \sin 4\theta + \sin 2\theta = 0 $$

和積の公式 $\sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}$ を用いると、

$$ 2 \sin 3\theta \cos\theta = 0 $$

ここで、$0 < \theta < \pi$ より $\cos\theta$ は $0$ になることがある（$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき）ため、場合分けを行う。

(i) $\cos\theta = 0$ すなわち $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき

このとき、$\cos 4\theta = \cos 2\pi = 1$、$\cos 2\theta = \cos\pi = -1$ となり、$\cos 4\theta = \cos 2\theta$ を満たさない。よって不適。

(ii) $\sin 3\theta = 0$ のとき

$0 < \theta < \pi$ より $0 < 3\theta < 3\pi$ であるから、

$$ 3\theta = \pi, 2\pi $$

これより、

$$ \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} $$

これらの $\theta$ の値について、第1式 $\cos 4\theta = \cos 2\theta$ を確認する。 $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$\cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$、$\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ となり成立する。 $\theta = \frac{2\pi}{3}$ のとき、$\cos\frac{8\pi}{3} = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$、$\cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ となり成立する。

以上より、求める $\theta$ の値は $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ である。

解法2

(3) の別解

(2) で求めた $AB$ は角 $2\theta$ の回転行列であり、$BA$ は角 $-2\theta$ の回転行列である。 $(AB)^2$ は角 $4\theta$ の回転行列となる。 $(AB)^2 = BA$ が成り立つことは、角 $4\theta$ の回転と角 $-2\theta$ の回転が、平面上の任意の点を同じ点に移すこと、すなわち動径が一致することと同値である。 したがって、整数 $n$ を用いて次のように表せる。

$$ 4\theta = -2\theta + 2n\pi $$

これを整理すると、

$$ 6\theta = 2n\pi $$

$$ \theta = \frac{n}{3}\pi $$

条件 $0 < \theta < \pi$ を満たすのは、$n = 1, 2$ のときである。

$$ \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} $$

解説

2つの直線に関する対称移動の合成が回転移動になることは、図形変換の重要な性質である。本問はこれを行列の計算を通じて確認する良問である。 (1) の対称移動の行列は、公式として暗記している受験生も多いかもしれないが、忘れてしまった場合でも、回転行列と $x$ 軸対称の行列の積から導出できる手法を身につけておくことが望ましい。 (3) は成分比較から三角方程式を解くのが標準的（解法1）だが、回転行列の図形的な意味（回転角）に着目すると、より簡潔に解くことができる（解法2）。行列の積が図形的に何を意味しているのかを常に意識すると、見通しが良くなる。

答え

(1) $$ A = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} $$

(2) $$ AB = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{pmatrix} $$

(3) $$ \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} $$