大阪大学 1986年 文系 第3問 解説

方針・初手

与えられた行列 $A$、$B$ から $A+B$ と $A-B$ を具体的に成分で表す。 正方行列が「逆行列をもたない」という条件は、その行列の行列式が $0$ になることと同値である。したがって、$\det(A+B) = 0$ および $\det(A-B) = 0$ という2つの等式を立てて連立し、実数 $a, b, c$ の間に成り立つ関係式を導出する。得られた関係式から、行列 $A$ が回転行列の定義に当てはまることを示す。

解法1

行列 $A$ と $B$ は与えられているので、$A+B$ および $A-B$ を計算すると以下のようになる。

$$ A+B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b+1 \\ c+1 & a \end{pmatrix} $$

$$ A-B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b-1 \\ c-1 & a \end{pmatrix} $$

条件より、$A+B$ は逆行列をもたないため、その行列式は $0$ である。

$$ a^2 - (b+1)(c+1) = 0 $$

これを展開して整理する。

$$ a^2 - (bc + b + c + 1) = 0 $$

$$ a^2 - bc - b - c - 1 = 0 \quad \cdots \text{①} $$

同様に、$A-B$ も逆行列をもたないため、その行列式は $0$ である。

$$ a^2 - (b-1)(c-1) = 0 $$

これも展開して整理する。

$$ a^2 - (bc - b - c + 1) = 0 $$

$$ a^2 - bc + b + c - 1 = 0 \quad \cdots \text{②} $$

ここで、①から②を辺々引く。

$$ -2b - 2c = 0 $$

$$ c = -b \quad \cdots \text{③} $$

求めた③を①に代入する。

$$ a^2 - b(-b) - b - (-b) - 1 = 0 $$

$$ a^2 + b^2 - 1 = 0 $$

$$ a^2 + b^2 = 1 \quad \cdots \text{④} $$

③より、行列 $A$ は次のように表される。

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} $$

さらに④より、実数 $a, b$ は原点を中心とする単位円上の点の座標となるため、ある実数 $\theta$ を用いて以下のように表すことができる。

$$ a = \cos\theta, \quad -b = \sin\theta $$

すなわち、$b = -\sin\theta$ である。これを行列 $A$ に代入すると、

$$ A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

これは、原点を中心とする角 $\theta$ の回転を表す行列そのものである。したがって、$A$ は回転を表す行列であることが示された。

解説

行列の基本的性質と三角関数の表現を結びつける標準的な問題である。 「逆行列をもたない $\iff$ 行列式が $0$」という基本事項を正確に式へ落とし込むことが第一歩となる。 導出した関係式から $a^2 + b^2 = 1$ を得たのち、「2乗の和が $1$ になる実数の組は $\cos\theta, \sin\theta$ で置換できる」という発想を用いると、回転行列の一般形 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ にスムーズに帰着できる。

答え

行列 $A+B$, $A-B$ の行列式がそれぞれ $0$ であることから $c = -b$ および $a^2 + b^2 = 1$ を導き、これによって $A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ の形に表せることを示した。