北海道大学 1986年 文系 第2問 解説

方針・初手

与えられた行列 $X, E$ の成分を代入し、逆行列 $(E-X)^{-1}$ を求めてから、行列の積 $(E+X)(E-X)^{-1}$ を直接計算する。 計算結果が行列 $\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ の形になることを示し、回転角 $\alpha$ を特定する。計算の過程では、三角関数の相互関係や2倍角の公式を利用して成分を整理する。

解法1

与えられた行列 $X, E$ より、

$$ E - X = \begin{pmatrix} 1 & \tan \theta \\ -\tan \theta & 1 \end{pmatrix} $$

行列 $E - X$ の行列式は $1 \cdot 1 - (\tan \theta)(-\tan \theta) = 1 + \tan^2 \theta$ である。 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\tan \theta$ は実数であるから $1 + \tan^2 \theta \geqq 1 > 0$ となり、行列式の値は $0$ ではないため $(E - X)^{-1}$ は常に存在する。 また、三角関数の相互関係から $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ であるから、

$$ (E - X)^{-1} = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{pmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{pmatrix} = \cos^2 \theta \begin{pmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{pmatrix} $$

一方、$E + X$ は次のようになる。

$$ E + X = \begin{pmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{pmatrix} $$

したがって、求める行列は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} (E + X)(E - X)^{-1} &= \begin{pmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{pmatrix} \cdot \cos^2 \theta \begin{pmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{pmatrix} \\ &= \cos^2 \theta \begin{pmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{pmatrix} \\ &= \cos^2 \theta \begin{pmatrix} 1 - \tan^2 \theta & -2\tan \theta \\ 2\tan \theta & 1 - \tan^2 \theta \end{pmatrix} \end{aligned} $$

ここで、行列の各成分に $\cos^2 \theta$ を掛け、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて整理すると、

$$ \begin{aligned} \cos^2 \theta (1 - \tan^2 \theta) &= \cos^2 \theta \left( 1 - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \right) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ \cos^2 \theta (2\tan \theta) &= \cos^2 \theta \left( 2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) = 2\sin \theta \cos \theta \end{aligned} $$

となる。これらに三角関数の2倍角の公式を用いると、

$$ \begin{aligned} \cos^2 \theta - \sin^2 \theta &= \cos 2\theta \\ 2\sin \theta \cos \theta &= \sin 2\theta \end{aligned} $$

となるため、行列は次のように書き直せる。

$$ (E + X)(E - X)^{-1} = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{pmatrix} $$

この行列は、原点を中心とする角 $2\theta$ の回転を表す1次変換の表現行列である。

解説

行列の積を計算し、三角関数の公式を用いて $\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ の形に変形するという、行列と三角関数が融合した典型的な計算問題である。 逆行列が存在することの確認（行列式の値が $0$ でないこと）は、記述式答案において論理の飛躍を防ぐために明記しておきたい。 計算過程において、$\frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \cos^2 \theta$ と置き換えて係数として括り出しておくことで、その後の行列の積や成分の計算がスムーズに進む。

答え

$(E + X)(E - X)^{-1} = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{pmatrix}$ となるため、この1次変換は原点を中心とする回転であることが示された。 また、その回転角は $2\theta$ である。