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北海道大学 1997年理系第4問解説

方針・初手

(1)は関数 $f(x)$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求め、$f'(x)=0$ となる $x$ の値の前後での符号の変化を調べる。その際、$a \neq 0$ という条件から、$a > 0$ と $a < 0$ の場合分けが必要になることに着目する。

(2)は(1)で求めた関数 $g(a)$ について、$g(a)=0$ となる $a$ の値を求め、積分区間を決定する。区間に応じて関数の形が変わるため、定積分を分けて計算する。

解法1

(1)

関数 $f(x) = \{x^2 - (a+2)x + a + 2\}e^x$ を微分すると、積の微分法より

$$ \begin{aligned} f'(x) &= (2x - (a+2))e^x + \{x^2 - (a+2)x + a + 2\}e^x \\ &= \{x^2 - (a+2)x + a + 2 + 2x - (a+2)\}e^x \\ &= (x^2 - ax)e^x \\ &= x(x - a)e^x \end{aligned} $$

となる。常に $e^x > 0$ であるから、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = a$ のときである。 $a \neq 0$ であるから、以下の2つの場合で増減を調べる。

(i) $a > 0$ のとき

$f'(x)$ の符号は $x(x-a)$ の符号と一致する。 $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$a$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$f(x)$ は $x = a$ のとき極小となる。極小値 $b$ は

$$ \begin{aligned} b &= f(a) \\ &= \{a^2 - (a+2)a + a + 2\}e^a \\ &= (a^2 - a^2 - 2a + a + 2)e^a \\ &= (2 - a)e^a \end{aligned} $$

(ii) $a < 0$ のとき

同様に、$f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$a$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$f(x)$ は $x = 0$ のとき極小となる。極小値 $b$ は

$$ \begin{aligned} b &= f(0) \\ &= (0 - 0 + a + 2)e^0 \\ &= a + 2 \end{aligned} $$

(2)

(1) の結果と $g(0) = 2$ より、関数 $b = g(a)$ は次のように表される。

$$ g(a) = \begin{cases} a + 2 & (a \le 0) \\ (2 - a)e^a & (a > 0) \end{cases} $$

$g(a) = 0$ となる $a$ の値を求める。 $a \le 0$ のとき、$a + 2 = 0$ より $a = -2$ である。 $a > 0$ のとき、$(2 - a)e^a = 0$ であり、$e^a > 0$ より $a = 2$ である。

また、$-2 \le a \le 2$ の範囲において $g(a) \ge 0$ である。したがって、求める面積を $S$ とすると、$S$ は以下の定積分で計算できる。

$$ S = \int_{-2}^{2} g(a) da = \int_{-2}^{0} (a + 2) da + \int_{0}^{2} (2 - a)e^a da $$

1つ目の積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{-2}^{0} (a + 2) da &= \left[ \frac{1}{2}a^2 + 2a \right]_{-2}^{0} \\ &= 0 - \left( \frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) \right) \\ &= -(2 - 4) \\ &= 2 \end{aligned} $$

2つ目の積分は部分積分法を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{2} (2 - a)e^a da &= \int_{0}^{2} (2 - a)(e^a)' da \\ &= \left[ (2 - a)e^a \right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} (-1)e^a da \\ &= (0 - 2e^0) + \int_{0}^{2} e^a da \\ &= -2 + \left[ e^a \right]_{0}^{2} \\ &= -2 + (e^2 - e^0) \\ &= e^2 - 3 \end{aligned} $$

これらを足し合わせて、求める面積 $S$ は

$$ S = 2 + (e^2 - 3) = e^2 - 1 $$

解説

文字定数を含む関数の極値と、その極値がなす関数の定積分を求める標準的な問題である。

(1) では導関数の符号変化を調べる際に、因数分解された $x(x-a)$ の形から $x=0, a$ で極値をとることがわかるが、$a$ の正負によってどちらが極小になるかが変わるため、適切な場合分けが必要となる。

(2) では $a=0$ のとき $g(0)=2$ と定義されているが、これは各区間の式で $a \to 0$ としたときの極限値と一致しており、関数 $g(a)$ が連続関数であることを確認できる。面積計算の積分においては、一次関数の積分と、多項式と指数関数の積である $(2-a)e^a$ の部分積分法をそれぞれ正確に実行できるかが問われている。