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北海道大学 2004年理系第1問解説

方針・初手

複素数平面における漸化式の問題である。(1)、(2)は問題の指示通りに計算を進める。(3)は(2)で得られた特性方程式を利用して等比数列の一般項を求める。(4)は(3)の結果を用いて複素数の方程式を解く。複素数の累乗を扱う場面では、極形式やド・モアブルの定理を活用すると見通し良く計算できる。

解法1

(1)

与えられた漸化式に $n=1, 2$ を代入して順に計算する。

$$ z_2 = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}z_1 + 1 = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{3+i\sqrt{3}}{2} $$

$$ \begin{aligned} z_3 &= \frac{1+i\sqrt{3}}{2}z_2 + 1 \\ &= \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3+i\sqrt{3}}{2} + 1 \\ &= \frac{3 + i\sqrt{3} + i3\sqrt{3} - 3}{4} + 1 \\ &= \frac{i4\sqrt{3}}{4} + 1 \\ &= 1 + i\sqrt{3} \end{aligned} $$

(2)

漸化式が $\displaystyle z_{n+1} - \alpha = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}(z_n - \alpha)$ と表せると仮定し、これを展開して元の漸化式と比較する。

$$ z_{n+1} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}z_n + \alpha - \frac{1+i\sqrt{3}}{2}\alpha $$

$$ z_{n+1} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}z_n + \frac{1-i\sqrt{3}}{2}\alpha $$

これが元の漸化式 $\displaystyle z_{n+1} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}z_n + 1$ と一致するので、定数項を比較して

$$ \frac{1-i\sqrt{3}}{2}\alpha = 1 $$

これを解いて $\alpha$ を求める。

$$ \begin{aligned} \alpha &= \frac{2}{1-i\sqrt{3}} \\ &= \frac{2(1+i\sqrt{3})}{(1-i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})} \\ &= \frac{2(1+i\sqrt{3})}{1+3} \\ &= \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

(3)

(2)の結果より、与えられた漸化式は次のように変形できる。

$$ z_{n+1} - \frac{1+i\sqrt{3}}{2} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \left( z_n - \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right) $$

よって、数列 $\displaystyle \left\{ z_n - \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right\}$ は、初項が $\displaystyle z_1 - \frac{1+i\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{1+i\sqrt{3}}{2} = \frac{1-i\sqrt{3}}{2}$、公比が $\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ の等比数列である。したがって、一般項は

$$ z_n - \frac{1+i\sqrt{3}}{2} = \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1} $$

ここで、初項の $\displaystyle \frac{1-i\sqrt{3}}{2}$ を変形する。

$$ \frac{1-i\sqrt{3}}{2} = \frac{(1-i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})}{2(1+i\sqrt{3})} = \frac{4}{2(1+i\sqrt{3})} = \frac{2}{1+i\sqrt{3}} = \left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{-1} $$

これを代入すると、

$$ \begin{aligned} z_n - \frac{1+i\sqrt{3}}{2} &= \left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{-1} \left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1} \\ &= \left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{n-2} \end{aligned} $$

ゆえに、

$$ z_n = \left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{n-2} + \frac{1+i\sqrt{3}}{2} $$

(4)

(3)の一般項を用いて方程式を立てる。

$$ \left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{n-2} + \frac{1+i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1-i\sqrt{3}}{2} $$

移項して整理する。

$$ \begin{aligned} \left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{n-2} &= -\frac{1-i\sqrt{3}}{2} - \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{-1+i\sqrt{3}-1-i\sqrt{3}}{2} \\ &= -1 \end{aligned} $$

ここで、両辺を極形式で表す。

$$ \left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right)^{n-2} = \cos\pi + i\sin\pi $$

ド・モアブルの定理より、左辺を変形する。

$$ \cos\frac{(n-2)\pi}{3} + i\sin\frac{(n-2)\pi}{3} = \cos\pi + i\sin\pi $$

両辺の偏角を比較すると、

$$ \frac{(n-2)\pi}{3} = \pi + 2k\pi \quad (k \text{ は整数}) $$

これを $n$ について解く。

$$ \begin{aligned} n-2 &= 3(1+2k) \\ n-2 &= 6k+3 \\ n &= 6k+5 \end{aligned} $$

$n$ は自然数であるから、$6k+5 \ge 1$ を満たす整数 $k$ は $k \ge 0$ である。したがって、求める自然数 $n$ は、$k$ を $0$ 以上の整数として $n = 6k+5$ と表される。

解説

2項間漸化式から一般項を求め、複素数の累乗の性質を利用して方程式を解く標準的な問題である。 (3)において、初項 $\displaystyle \frac{1-i\sqrt{3}}{2}$ が公比 $\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ の逆数であることを利用してまとめることで、式を非常に簡潔に表すことができる。これに気づかない場合でも、初項と公比をそれぞれ極形式に直して計算することで、同様に簡潔な形に導くことが可能である。複素数の乗法や累乗を扱う際には、極形式を活用することで計算量を大幅に削減できることが多い。