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北海道大学 2004年理系第2問解説

方針・初手

行列の相等 $XA - AX = kA$ の各成分を計算し、連立方程式を導くことが第一歩である。 (1) では $k=0$ を代入し、各成分の条件から $x, y, z$ が一つのパラメータで表せることを示す。 (2) では $k \neq 0$ のもとで連立方程式が解を持つための必要十分条件を導出する。等式から文字を消去し、$a, b, c$ の関係式（$A^2=O$ と同値な条件）を引き出す。その後、$z=c$ を代入して各成分の値を確定させる。

解法1

まず、$XA$ と $AX$ をそれぞれ計算する。 $X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & -x \end{pmatrix}, A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ より、

$$ XA = \begin{pmatrix} x & y \\ z & -x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+cy & bx-ay \\ az-cx & bz+ax \end{pmatrix} $$

$$ AX = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y \\ z & -x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+bz & ay-bx \\ cx-az & cy+ax \end{pmatrix} $$

したがって、$XA - AX$ は次のように計算できる。

$$ XA - AX = \begin{pmatrix} cy-bz & 2bx-2ay \\ 2az-2cx & bz-cy \end{pmatrix} $$

(1)

$k=0$ のとき、等式 $(*)$ は $XA - AX = O$（零行列）となる。各成分を比較して以下の関係式を得る。

$$ \begin{cases} cy - bz = 0 \\ 2bx - 2ay = 0 \\ 2az - 2cx = 0 \end{cases} $$

これらを整理すると、

$$ \begin{cases} cy = bz \\ bx = ay \\ cx = az \end{cases} $$

問題の条件より $bc \neq 0$ であるから、$b \neq 0$ かつ $c \neq 0$ である。第2式から $x = \frac{a}{b}y$、第1式から $z = \frac{c}{b}y$ を得る。これらを $X$ の成分に代入すると、

$$ X = \begin{pmatrix} \frac{a}{b}y & y \\ \frac{c}{b}y & -\frac{a}{b}y \end{pmatrix} = \frac{y}{b}\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} = \frac{y}{b}A $$

行列の成分はすべて実数であるから、$t = \frac{y}{b}$ とおけば $t$ は実数である。したがって、$X = tA$ と表せるため、$(*)$ を満たす $X$ は $A$ の実数倍であることが示された。

(2)

$k \neq 0$ のとき、$(*)$ より $XA - AX = kA$ であるから、各成分を比較して以下の連立方程式を得る。（$(2,2)$ 成分の $bz - cy = -ka$ は第1式と同値である。）

$$ \begin{cases} cy - bz = ka \quad \cdots \text{①} \\ 2bx - 2ay = kb \quad \cdots \text{②} \\ 2az - 2cx = kc \quad \cdots \text{③} \end{cases} $$

また、$A^2$ を計算すると、

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} a^2+bc & 0 \\ 0 & bc+a^2 \end{pmatrix} $$

であるから、$A^2 = O$ と $a^2+bc = 0$ は同値である。これを用いて必要十分条件を示す。

(必要性の証明) $(*)$ を満たす $X$（すなわち実数 $x, y, z$）が存在すると仮定する。 ②の両辺に $c$、③の両辺に $b$ を掛けると、

$$ \begin{cases} 2bcx - 2acy = kbc \\ 2abz - 2bcx = kbc \end{cases} $$

両辺を足し合わせると、

$$ 2abz - 2acy = 2kbc $$

$$ 2a(bz - cy) = 2kbc $$

ここで①より $bz - cy = -ka$ であるから、代入して、

$$ 2a(-ka) = 2kbc $$

$$ -2k(a^2+bc) = 0 $$

$k \neq 0$ であるから、

$$ a^2+bc = 0 $$

よって、$A^2 = O$ が成り立つ。

(十分性の証明) $A^2 = O$、すなわち $a^2+bc = 0$ を仮定する。条件 $bc \neq 0$ より $bc < 0$ となり、$a^2 > 0$ であるから $a \neq 0$ である。 ①より $z = \frac{cy-ka}{b}$、②より $x = \frac{ay}{b} + \frac{k}{2}$ と表せる。これらが③を満たすか確認する。

$$ \begin{aligned} 2az - 2cx &= 2a\left(\frac{cy-ka}{b}\right) - 2c\left(\frac{ay}{b} + \frac{k}{2}\right) \\ &= \frac{2acy - 2ka^2}{b} - \frac{2acy}{b} - ck \\ &= \frac{-2ka^2}{b} - ck \end{aligned} $$

ここで $a^2 = -bc$ を代入すると、

$$ \frac{-2k(-bc)}{b} - ck = 2kc - ck = kc $$

となり、③を満たす。よって、任意の $y$ に対して $x = \frac{ay}{b} + \frac{k}{2}$, $z = \frac{cy-ka}{b}$ と定めれば①〜③はすべて成立し、$X$ は存在する。以上より、題意の必要十分条件は $A^2 = O$ である。

( $z=c$ のときの $X$ の導出 ) $(*)$ を満たす $X$ で $z = c$ のものを求める。 ①に $z = c$ を代入すると、

$$ cy - bc = ka \implies cy = bc + ka $$

$c \neq 0$ より、

$$ y = \frac{bc+ka}{c} = b + \frac{ka}{c} $$

これを十分性の証明で得た $x = \frac{ay}{b} + \frac{k}{2}$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} x &= \frac{a}{b}\left(b + \frac{ka}{c}\right) + \frac{k}{2} \\ &= a + \frac{ka^2}{bc} + \frac{k}{2} \end{aligned} $$

$a^2+bc = 0 \implies a^2 = -bc$ を用いると、

$$ x = a + \frac{k(-bc)}{bc} + \frac{k}{2} = a - k + \frac{k}{2} = a - \frac{k}{2} $$

これより、$x, y, z$ 全てが確定し、求める $X$ となる。

解説

行列の積の非可換性（交換法則が成り立たないこと）を背景とした問題である。成分を愚直に計算して連立方程式に帰着させるのが最も確実な方針となる。(2) では、未知数 $x, y, z$ を持つ連立方程式が解を持つための条件を求めることになるため、式同士を定数倍して足し引きし、$x, y, z$ を消去して $a, b, c$ だけの等式を作り出す操作が山場となる。 $A^2 = O \iff a^2 + bc = 0$ に気づけば、方程式から $a^2 + bc$ の塊を作ろうとする目的意識を持って式変形を進めることができる。