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北海道大学 2007年理系第4問解説

方針・初手

(1)では、与えられた建物の形状から円柱と直円錐の体積・側面積の公式を用いて $V$ と $S$ をそれぞれ $a, b, c$ で立式する。

(2)(i)では、$b, c$ を消去して $S$ を変数 $y$ の関数として表し、微分法を用いて最小値を求める。(ii)では求まった最小値 $T$ をさらに $a$ の関数とみて微分し、最終的な最小値をとる条件を求める。

解法1

(1)

円柱部分は、底面の半径が $a$、高さが $b$ であるから、体積は $\pi a^2 b$ 側面積は $2\pi a b$ である。

直円錐部分は、底面の半径が $a$、高さが $c$ である。母線の長さは $\sqrt{a^2+c^2}$ であるから、体積は $\frac{1}{3}\pi a^2 c$ 側面積は $\pi a \sqrt{a^2+c^2}$ である。

建物の体積 $V$ は、これら2つの体積の和であるから、

$$ V = \pi a^2 b + \frac{1}{3}\pi a^2 c = \pi a^2\left(b + \frac{c}{3}\right) $$

建物の外側の表面積 $S$ は、底面を除くため、円柱の側面積と直円錐の側面積の和となる。よって、

$$ S = 2\pi a b + \pi a \sqrt{a^2+c^2} $$

(2)

(i)

$b=xa, c=ya$ とおく。長さの条件より $a>0, b>0, c>0$ であるから、$x>0, y>0$ である。 (1)の $V$ の式に代入すると、

$$ V = \pi a^2\left(xa + \frac{ya}{3}\right) = \pi a^3\left(x + \frac{y}{3}\right) $$

これより $x$ について解くと、

$$ x = \frac{V}{\pi a^3} - \frac{y}{3} $$

$x>0$ であるから、$y$ の変域は $0 < y < \frac{3V}{\pi a^3}$ である。

次に、(1)の $S$ の式に代入すると、

$$ S = 2\pi a(xa) + \pi a\sqrt{a^2 + (ya)^2} = 2\pi a^2 x + \pi a^2 \sqrt{1+y^2} $$

これに先ほどの $x$ を代入し、$S$ を $y$ の関数 $S(y)$ とみる。

$$ \begin{aligned} S(y) &= 2\pi a^2 \left( \frac{V}{\pi a^3} - \frac{y}{3} \right) + \pi a^2 \sqrt{1+y^2} \\ &= \frac{2V}{a} + \pi a^2 \left( \sqrt{1+y^2} - \frac{2}{3}y \right) \end{aligned} $$

$y$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} S'(y) &= \pi a^2 \left( \frac{1}{2\sqrt{1+y^2}} \cdot 2y - \frac{2}{3} \right) \\ &= \pi a^2 \left( \frac{y}{\sqrt{1+y^2}} - \frac{2}{3} \right) \end{aligned} $$

$S'(y) = 0$ とすると、$\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} = \frac{2}{3}$ となる。 $y>0$ であるから、両辺とも正であり、両辺を2乗して整理する。

$$ \frac{y^2}{1+y^2} = \frac{4}{9} $$

$$ 9y^2 = 4(1+y^2) $$

$$ 5y^2 = 4 $$

$y>0$ より $y = \frac{2}{\sqrt{5}}$ である。このとき、$y$ の前後で $S'(y)$ の符号は負から正に変化するため、$S(y)$ は極小かつ最小となる。（なお、この最小値が存在するためには、この $y$ が変域 $0 < y < \frac{3V}{\pi a^3}$ に含まれる必要があるが、関数 $S$ が最小値 $T$ をもつという題意からこれを満たすものとして計算を進める。実際にこの条件が満たされることは後の (ii) で確認できる。）

$y = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、

$$ \begin{aligned} \sqrt{1+y^2} - \frac{2}{3}y &= \sqrt{1 + \frac{4}{5}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{3}{\sqrt{5}} - \frac{4}{3\sqrt{5}} \\ &= \frac{9-4}{3\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{3} \end{aligned} $$

よって、$S$ の最小値 $T$ は、

$$ T = \frac{2V}{a} + \frac{\sqrt{5}}{3}\pi a^2 $$

(ii)

(i)より、$T(a) = 2V a^{-1} + \frac{\sqrt{5}}{3}\pi a^2$ とみる。 $V$ は一定であるから、$a>0$ において $T(a)$ を $a$ で微分すると、

$$ T'(a) = -2V a^{-2} + \frac{2\sqrt{5}}{3}\pi a = \frac{2(\sqrt{5}\pi a^3 - 3V)}{3a^2} $$

$T'(a) = 0$ とすると、$\sqrt{5}\pi a^3 = 3V$ より $a^3 = \frac{3V}{\sqrt{5}\pi}$ となる。 $a>0$ において、$a^3 = \frac{3V}{\sqrt{5}\pi}$ を境に $T'(a)$ の符号は負から正に変化するため、$T(a)$ はここで極小かつ最小となる。

（ここで (i) における前提条件の確認を行う。$a^3 = \frac{3V}{\sqrt{5}\pi}$ のとき、上限の条件は $\frac{3V}{\pi a^3} = \sqrt{5}$ となる。極小値を与える $y = \frac{2}{\sqrt{5}}$ は明らかに $y < \sqrt{5}$ を満たすため、(i) で最小値をもつという前提は正当化される。）

$T$ が最小となるとき、$a^3 = \frac{3V}{\sqrt{5}\pi}$ すなわち $\frac{V}{\pi a^3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ である。このとき、(i) より $c = ya = \frac{2}{\sqrt{5}}a$ である。また、$b = xa$ であり、$x$ は次のように求まる。

$$ \begin{aligned} x &= \frac{V}{\pi a^3} - \frac{y}{3} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{5 - 2}{3\sqrt{5}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}} \end{aligned} $$

よって、$b = \frac{1}{\sqrt{5}}a$ である。

以上より、求める比は、

$$ a : b : c = a : \frac{1}{\sqrt{5}}a : \frac{2}{\sqrt{5}}a = \sqrt{5} : 1 : 2 $$

解説

立体図形の体積と表面積に関する微分の応用問題である。登場する変数が $a, b, c$ と多いが、(1) で条件式 $V$ が与えられることで変数を1つ消去でき、さらに (2)(i) で $a$ を固定して比率を考えることで、実質的に1変数の関数の最大・最小問題に帰着する。 (2)(i) において $x>0$ の条件から $y$ の定義域に上限が生じることに注意が必要であるが、本問では $T$ がさらに最小となる条件を求めるため、実用上は極値をとる点で最小となると進めてしまってよい設計になっている。解答のように事後的に確認を入れておくと論理的な隙がなくなる。