トップ› 北海道大学› 2008年› 理系第4問

北海道大学 2008年理系第4問解説

方針・初手

(1) については、点 $C$ が半径 $1$ の球面上にあること、および内積の定義を用いて立式する。未知数は点 $C$ の $x, y, z$ 座標の3つであり、大きさの条件と $2$ つの内積の条件から連立方程式を解く。

(2) については、$4$ つのベクトルのなす角がすべて等しいという条件から、その角が $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角（すなわち $\alpha$）に等しいことを見抜くのが第一歩である。ここから $\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD}$ を計算して方程式を立てる方針と、$4$ 点が正四面体の頂点をなす図形的性質（重心が原点に一致する）を利用する方針の $2$ 通りが考えられる。

解法1

(1)

点 $C$ の座標を $(x, y, z)$ とする。点 $C$ は原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の球面上にあるから、以下の式が成り立つ。

$$ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $$

$\angle COA = \theta$ であり、$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OC}| = 1$ であるから、内積の定義より、

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 1 \times 1 \times \cos\theta = \cos\theta $$

成分を用いて内積を計算すると、

$$ x \cos\frac{\alpha}{2} + y \sin\frac{\alpha}{2} = \cos\theta \quad \cdots \text{①} $$

同様に、$\angle COB = \theta$ より $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \cos\theta$ であるから、

$$ x \cos\frac{\alpha}{2} - y \sin\frac{\alpha}{2} = \cos\theta \quad \cdots \text{②} $$

① $+$ ② より、

$$ 2x \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\theta $$

ここで、$0 < \alpha < \pi$ より $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ であるから $\cos\frac{\alpha}{2} \neq 0$ となる。よって、

$$ x = \frac{\cos\theta}{\cos\frac{\alpha}{2}} $$

次に、① $-$ ② より、

$$ 2y \sin\frac{\alpha}{2} = 0 $$

$0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ より $\sin\frac{\alpha}{2} \neq 0$ であるから、

$$ y = 0 $$

これらを球面の方程式に代入して $z$ について解くと、

$$ z^2 = 1 - x^2 - y^2 = 1 - \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\frac{\alpha}{2}} $$

問題の条件より点 $C$ の $z$ 座標は正であるから、

$$ z = \sqrt{1 - \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}} $$

以上より、点 $C$ の座標は $\left( \frac{\cos\theta}{\cos\frac{\alpha}{2}}, 0, \sqrt{1 - \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}} \right)$ となる。

(2)

$4$ つのベクトルはすべて大きさが $1$ であり、相異なる $2$ つのベクトルのなす角はすべて等しい。ここで、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の内積を計算すると、

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} = \cos\alpha $$

したがって、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角は $\alpha$ であり、すべての $2$ つのベクトルのなす角は $\alpha$ である。 $\angle COA = \angle COB = \alpha$ となるため、(1) の結果において $\theta = \alpha$ とすればよく、点 $C$ の座標は以下のように表される。

$$ C\left( \frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}}, 0, \sqrt{1 - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}} \right) $$

また、点 $D$ も $\angle DOA = \angle DOB = \alpha$ を満たすので、$x, y$ 座標は点 $C$ と等しい。点 $D$ の $z$ 座標は負であるから、

$$ D\left( \frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}}, 0, -\sqrt{1 - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}} \right) $$

$\overrightarrow{OC}$ と $\overrightarrow{OD}$ のなす角も $\alpha$ であるから、$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD} = \cos\alpha$ が成り立つ。成分を用いて内積を計算すると、

$$ \left( \frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}} \right)^2 - \left( 1 - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\frac{\alpha}{2}} \right) = \cos\alpha $$

$$ \frac{2\cos^2\alpha}{\cos^2\frac{\alpha}{2}} - 1 = \cos\alpha $$

半角の公式 $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$ を用いて整理する。

$$ \frac{4\cos^2\alpha}{1+\cos\alpha} - 1 = \cos\alpha $$

$$ \frac{4\cos^2\alpha}{1+\cos\alpha} = 1 + \cos\alpha $$

両辺に $1+\cos\alpha$ を掛けて、

$$ 4\cos^2\alpha = (1+\cos\alpha)^2 $$

$$ 4\cos^2\alpha = 1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha $$

$$ 3\cos^2\alpha - 2\cos\alpha - 1 = 0 $$

$$ (3\cos\alpha + 1)(\cos\alpha - 1) = 0 $$

$0 < \alpha < \pi$ より $\cos\alpha \neq 1$ であるから、$\cos\alpha = -\frac{1}{3}$ と定まる。このとき、半角の公式より、

$$ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \left(-\frac{1}{3}\right)}{2} = \frac{1}{3} $$

$0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ より $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$ であるから、$\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。これらを点 $C$ の座標の式に代入する。 $x$ 座標は、

$$ \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$

$y$ 座標は $0$ である。 $z$ 座標は、

$$ \sqrt{1 - \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)^2}{\frac{1}{3}}} = \sqrt{1 - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

したがって、点 $C$ の座標は $\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, 0, \frac{\sqrt{6}}{3} \right)$ となる。

解法2

(2) の別解

$4$ つのベクトル $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}$ はすべて大きさが $1$ であり、相異なる $2$ つのベクトルのなす角がすべて等しい。これは、$4$ 点 $A, B, C, D$ が原点 $O$ を中心とする球面に内接する正四面体の頂点をなすことを意味する。正四面体の重心は外接球の中心に一致するから、以下のベクトル方程式が成り立つ。

$$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0} $$

点 $A, B$ の座標より、

$$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \left( 2\cos\frac{\alpha}{2}, 0, 0 \right) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \left( -2\cos\frac{\alpha}{2}, 0, 0 \right) $$

(1) と同様の議論から、$\angle DOA = \angle DOB$ より点 $D$ の $x, y$ 座標は点 $C$ と同じになるため、$C(x_C, 0, z_C)$、$D(x_C, 0, z_D)$ とおける（条件より $z_C > 0, z_D < 0$）。これをベクトル方程式に代入すると、

$$ (2x_C, 0, z_C + z_D) = \left( -2\cos\frac{\alpha}{2}, 0, 0 \right) $$

各成分を比較して、

$$ x_C = -\cos\frac{\alpha}{2}, \quad z_D = -z_C $$

点 $C$ は球面上にあるので $x_C^2 + z_C^2 = 1$ が成り立ち、

$$ z_C^2 = 1 - \cos^2\frac{\alpha}{2} = \sin^2\frac{\alpha}{2} $$

$z_C > 0$ かつ $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ より、$z_C = \sin\frac{\alpha}{2}$ となる。よって、$C$ の座標は $\left( -\cos\frac{\alpha}{2}, 0, \sin\frac{\alpha}{2} \right)$ と表せる。

一方、(1) より $C$ の $x$ 座標は $\frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}}$ であるから、これが $-\cos\frac{\alpha}{2}$ に等しい。

$$ \frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}} = -\cos\frac{\alpha}{2} $$

$$ \cos\alpha = -\cos^2\frac{\alpha}{2} $$

半角の公式より $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$ を代入して、

$$ \cos\alpha = -\frac{1+\cos\alpha}{2} $$

$$ 3\cos\alpha = -1 \iff \cos\alpha = -\frac{1}{3} $$

このとき $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$ であり、$\cos\frac{\alpha}{2} > 0, \sin\frac{\alpha}{2} > 0$ であるから、

$$ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

したがって、これらを $C$ の座標の式に代入して、点 $C$ の座標は $\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, 0, \frac{\sqrt{6}}{3} \right)$ となる。

解説

本問は空間ベクトルを用いた図形の決定問題である。 (1) では、球面上の点であることを利用して文字を設定し、内積の定義式を素直に連立させることが重要である。 (2) では、「相異なる2つのベクトルのなす角がすべて等しい」という条件から、それが $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角 $\alpha$ に等しいことを導く必要がある。そこから成分計算で押し切るのが解法1であるが、計算量がやや多くなる。解法2のように、与えられた条件が「正四面体」を形成することを見抜き、正四面体の重心と外接球の中心が一致する性質（ベクトルの和が $\vec{0}$ になる）を活用すると、計算の見通しが非常に良くなる。図形的意味を捉えることの強力さが分かる良問である。