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東京大学 2014年理系第1問解説

方針・初手

点 $O$ を原点とする空間座標を導入し、各点の座標を $\alpha, \beta$ を用いて表す。4点 $O, P, Q, R$ が同一平面上にあるという条件から、点 $Q$ の座標を決定し、四角形 $OPQR$ の形状を把握する。その後、ベクトルの内積や面積公式を用いて $S$ を計算する。後半は、三角関数の加法定理と対称式の性質を利用して連立方程式を解く。

解法1

点 $O$ を原点とする座標空間を考え、$\overrightarrow{OA} = (1, 0, 0)$、$\overrightarrow{OC} = (0, 1, 0)$ となるように $x$ 軸、$y$ 軸をとる。また、四角柱の高さ方向を $z$ 軸の正の向きにとる。このとき、各頂点の座標は $A(1, 0, 0)$、$C(0, 1, 0)$、$B(1, 1, 0)$ と表せる。

点 $P, Q, R$ はそれぞれ辺 $AE, BF, CG$ 上にあるので、それらの $x$ 座標と $y$ 座標は底面の各頂点と一致する。したがって、$P(1, 0, p)$、$R(0, 1, r)$、$Q(1, 1, q)$ とおける。（ただし、$p \geqq 0, r \geqq 0, q \geqq 0$）

$\triangle OAP$ は $\angle OAP = 90^\circ$ の直角三角形であるから、

$$ \tan \alpha = \frac{AP}{OA} = \frac{p}{1} = p $$

同様に、$\triangle OCR$ は $\angle OCR = 90^\circ$ の直角三角形であるから、

$$ \tan \beta = \frac{CR}{OC} = \frac{r}{1} = r $$

よって、$\overrightarrow{OP} = (1, 0, \tan \alpha)$、$\overrightarrow{OR} = (0, 1, \tan \beta)$ と表せる。

4点 $O, P, Q, R$ は同一平面上にあるため、実数 $s, t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OQ} = s\overrightarrow{OP} + t\overrightarrow{OR} $$

と表せる。成分で比較すると、

$$ (1, 1, q) = s(1, 0, \tan \alpha) + t(0, 1, \tan \beta) = (s, t, s\tan \alpha + t\tan \beta) $$

これより、$s=1, t=1$ となり、$q = \tan \alpha + \tan \beta$ を得る。このとき $\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OR}$ が成り立つので、四角形 $OPQR$ は平行四辺形である。

(1) 平行四辺形 $OPQR$ の面積 $S$ は、$\triangle OPR$ の面積の2倍であるから、

$$ \begin{aligned} S &= 2 \times \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{OP}|^2 |\overrightarrow{OR}|^2 - (\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OR})^2} \\ &= \sqrt{(1^2 + 0^2 + \tan^2 \alpha)(0^2 + 1^2 + \tan^2 \beta) - (1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + \tan \alpha \tan \beta)^2} \\ &= \sqrt{(1 + \tan^2 \alpha)(1 + \tan^2 \beta) - \tan^2 \alpha \tan^2 \beta} \\ &= \sqrt{1 + \tan^2 \alpha + \tan^2 \beta} \end{aligned} $$

(2) $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ の両辺の正接をとると、加法定理より

$$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = 1 $$

整理して、

$$ \tan \alpha + \tan \beta = 1 - \tan \alpha \tan \beta $$

ここで、$u = \tan \alpha + \tan \beta$、$v = \tan \alpha \tan \beta$ とおくと、$u = 1 - v$ より $v = 1 - u$ となる。また、$S = \frac{7}{6}$ であるから、(1) の結果を2乗して

$$ 1 + \tan^2 \alpha + \tan^2 \beta = \left(\frac{7}{6}\right)^2 = \frac{49}{36} $$

$$ \tan^2 \alpha + \tan^2 \beta = \frac{13}{36} $$

左辺を $u, v$ で表すと、

$$ \begin{aligned} \tan^2 \alpha + \tan^2 \beta &= (\tan \alpha + \tan \beta)^2 - 2\tan \alpha \tan \beta \\ &= u^2 - 2v \end{aligned} $$

したがって、

$$ u^2 - 2(1 - u) = \frac{13}{36} $$

$$ u^2 + 2u - \frac{85}{36} = 0 $$

両辺に $36$ を掛けて、

$$ 36u^2 + 72u - 85 = 0 $$

これを因数分解すると、

$$ (6u - 5)(6u + 17) = 0 $$

点 $P, R$ はそれぞれ辺 $AE, CG$ 上の点であるため、図形的に $\alpha \geqq 0, \beta \geqq 0$ であり、$u = \tan \alpha + \tan \beta \geqq 0$ であるから、

$$ u = \frac{5}{6} $$

すなわち、$\tan \alpha + \tan \beta = \frac{5}{6}$ である。

このとき、$v = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ となる。 $\tan \alpha, \tan \beta$ は、2次方程式 $t^2 - ut + v = 0$ の2解であるから、

$$ t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0 $$

$$ 6t^2 - 5t + 1 = 0 $$

$$ (2t - 1)(3t - 1) = 0 $$

よって、$t = \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ である。条件 $\alpha \leqq \beta$ と、関数 $y = \tan x$ が $0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ において単調増加であることから、$\tan \alpha \leqq \tan \beta$ が成り立つ。したがって、

$$ \tan \alpha = \frac{1}{3} $$

解説

立体図形の問題において、直角が多く含まれる場合は座標を導入すると見通しが良くなる典型的な問題である。4点が同一平面上にある条件は、ベクトルを用いることで簡明に処理できる。平行四辺形の面積公式や、対称式を基本対称式で表して解く手法など、複数の分野の基本事項が問われている。また、図形的な条件から $\tan \alpha \geqq 0$ 等の符号の条件を忘れずに確認することが重要である。