東北大学 2006年 文系 第3問 解説

方針・初手

点 $C$ を始点とするベクトルで考える。

$$ \mathbf{a}=\overrightarrow{CA},\quad \mathbf{b}=\overrightarrow{CB},\quad \mathbf{d}=\overrightarrow{CD} $$

とおくと，条件 $AB=BC=CD=DA=AC=1$ から，これらの内積が求まる。 また，$H$ は $A$ の平面 $P$ への正射影であるから，$\overrightarrow{CH}$ は平面 $P$ 内，すなわち $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD}$ の一次結合で表せる。そこに「$\overrightarrow{AH}$ は平面 $P$ に垂直」という条件を使えばよい。

解法1

まず，

$$ |\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{d}|=1,\qquad \mathbf{b}\cdot \mathbf{d}=\cos\alpha $$

である。

さらに $AB=1,\ AD=1$ より，

$$ |\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2=1,\qquad |\mathbf{a}-\mathbf{d}|^2=1 $$

だから，

$$ |\mathbf{a}|^2+|\mathbf{b}|^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1 $$

より

$$ 1+1-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1 $$

したがって

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\frac12 $$

同様に

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{d}=\frac12 $$

である。

$(1)$ $\overrightarrow{AH}$ を表す

$H$ は平面 $P$ 上にあるので，$\overrightarrow{CH}$ は $\mathbf{b},\mathbf{d}$ の一次結合で表せる。そこで

$$ \overrightarrow{CH}=x\mathbf{b}+y\mathbf{d} $$

とおく。

このとき

$$ \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{CH}-\overrightarrow{CA} =x\mathbf{b}+y\mathbf{d}-\mathbf{a} $$

である。

$\overrightarrow{AH}$ は平面 $P$ に垂直だから，平面 $P$ 内のベクトル $\mathbf{b},\mathbf{d}$ と直交する。よって

$$ \overrightarrow{AH}\cdot \mathbf{b}=0,\qquad \overrightarrow{AH}\cdot \mathbf{d}=0 $$

である。

これに $\overrightarrow{AH}=x\mathbf{b}+y\mathbf{d}-\mathbf{a}$ を代入すると，

$$ x+y\cos\alpha-\frac12=0 $$

$$ x\cos\alpha+y-\frac12=0 $$

すなわち

$$ x+y\cos\alpha=\frac12,\qquad x\cos\alpha+y=\frac12 $$

この2式の差をとると

$$ (1-\cos\alpha)(x-y)=0 $$

ここで $0^\circ<\alpha<120^\circ$ より $\alpha\neq 0^\circ$ であるから，$\cos\alpha\neq 1$ であり，

$$ x=y $$

となる。これを上の式に代入して

$$ x(1+\cos\alpha)=\frac12 $$

ゆえに

$$ x=y=\frac{1}{2(1+\cos\alpha)} $$

したがって

$$ \overrightarrow{CH}=\frac{1}{2(1+\cos\alpha)}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right) $$

よって

$$ \overrightarrow{AH} =\overrightarrow{CH}-\overrightarrow{CA} =\frac{1}{2(1+\cos\alpha)}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right)-\overrightarrow{CA} $$

である。

$(2)$ $AH$ の長さを表す

$\overrightarrow{AH}$ は平面 $P$ に垂直であり，$\overrightarrow{CH}$ は平面 $P$ 内にあるから，

$$ \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{CH} $$

である。したがって三角形 $ACH$ は $H$ を直角とする直角三角形であり，

$$ AC^2=AH^2+CH^2 $$

が成り立つ。

まず $CH^2$ を求める。

$$ \overrightarrow{CH} =\frac{1}{2(1+\cos\alpha)}(\mathbf{b}+\mathbf{d}) $$

より，

$$ |\overrightarrow{CH}|^2 =\frac{1}{4(1+\cos\alpha)^2}|\mathbf{b}+\mathbf{d}|^2 $$

ここで

$$ |\mathbf{b}+\mathbf{d}|^2 =|\mathbf{b}|^2+|\mathbf{d}|^2+2\mathbf{b}\cdot\mathbf{d} =1+1+2\cos\alpha =2(1+\cos\alpha) $$

だから，

$$ CH^2=\frac{1}{2(1+\cos\alpha)} $$

したがって $AC=1$ より

$$ AH^2=1-\frac{1}{2(1+\cos\alpha)} =\frac{1+2\cos\alpha}{2(1+\cos\alpha)} $$

よって

$$ AH=\sqrt{\frac{1+2\cos\alpha}{2(1+\cos\alpha)}} $$

である。

$(3)$ $H$ が $\triangle BCD$ の重心となるときの $\alpha$

$\triangle BCD$ の重心を $G$ とすると，

$$ \overrightarrow{CG} =\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right) $$

である。

$H$ が重心であるための条件は $\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CG}$ であるから，

$$ \frac{1}{2(1+\cos\alpha)} =\frac13 $$

となる。これを解くと，

$$ 3=2(1+\cos\alpha) $$

$$ 2\cos\alpha=1 $$

$$ \cos\alpha=\frac12 $$

よって，$0^\circ<\alpha<120^\circ$ より

$$ \alpha=60^\circ $$

である。

解説

この問題の要点は，立体図形をそのまま扱うのではなく，点 $C$ を基準にしたベクトルで整理することである。

特に，$AB=AD=1$ から

$$ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CD} =\frac12 $$

が出ることと，$\overrightarrow{AH}$ が平面 $P$ に垂直なので $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD}$ の両方と直交することが決定的である。

また，$(2)$ では $\overrightarrow{AH}$ を直接計算するよりも，$\triangle AHC$ が直角三角形であることを用いて

$$ AC^2=AH^2+CH^2 $$

とする方が計算が簡潔である。

答え

$$ \overrightarrow{AH} =\frac{1}{2(1+\cos\alpha)}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right)-\overrightarrow{CA} $$

$$ AH=\sqrt{\frac{1+2\cos\alpha}{2(1+\cos\alpha)}} $$

$$ \alpha=60^\circ $$