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北海道大学 2011年理系第1問解説

方針・初手

ガウス記号 $[x]$ の定義「 $k \leqq x < k+1$ を満たす整数 $k$ 」から、$[x]$ は必ず整数になるという性質を利用する。 (1) は単なる2次不等式の整数解を求める問題である。 (2) は $[x]$ を1つの変数と見なせば (1) と同じ形になるため、(1) の結果を利用して $[x]$ の値を決定し、$x$ の範囲に直す。 (3) は (2) の範囲から $[x]$ の値が絞り込めるので、場合分けをして各々の区間で方程式を解き、求まった解が場合分けの条件を満たすかを確認する。

解法1

(1) 与えられた不等式は以下の通りである。

$$ n^2 - n - \frac{5}{4} < 0 $$

両辺に $4$ を掛けて整理する。

$$ 4n^2 - 4n - 5 < 0 $$

方程式 $4n^2 - 4n - 5 = 0$ の解は、解の公式より以下のようになる。

$$ n = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (-5)}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{2} $$

したがって、不等式の解は以下の範囲となる。

$$ \frac{1 - \sqrt{6}}{2} < n < \frac{1 + \sqrt{6}}{2} $$

ここで、$2 < \sqrt{6} < 3$ であるから、各辺に $1$ を足して $2$ で割るなどの操作により、境界の値を評価する。

$$ -1 = \frac{1 - 3}{2} < \frac{1 - \sqrt{6}}{2} < \frac{1 - 2}{2} = -0.5 $$

$$ 1.5 = \frac{1 + 2}{2} < \frac{1 + \sqrt{6}}{2} < \frac{1 + 3}{2} = 2 $$

以上より、不等式の解の範囲は $-1$ と $-0.5$ の間から始まり、$1.5$ と $2$ の間で終わる。これを満たす整数 $n$ をすべて求めると、以下のようになる。

$$ n = 0, 1 $$

(2) $[x]$ は定義より整数である。したがって、$[x] = n$ （ $n$ は整数）とおくと、与えられた不等式は以下のようになる。

$$ n^2 - n - \frac{5}{4} < 0 $$

(1) の結果より、これを満たす整数 $n$ は $0, 1$ である。よって、$[x] = 0$ または $[x] = 1$ が成り立つ。

$[x] = 0$ を満たす実数 $x$ の範囲は $0 \leqq x < 1$ である。 $[x] = 1$ を満たす実数 $x$ の範囲は $1 \leqq x < 2$ である。

これらを合わせたものが求める $x$ の範囲となる。

$$ 0 \leqq x < 2 $$

(3) (2) で求めた範囲 $0 \leqq x < 2$ において、$[x]$ の値は $0$ または $1$ のいずれかである。それぞれの場合について、方程式 $x^2 - [x] - \frac{5}{4} = 0$ を解く。

(i) $[x] = 0$ （すなわち $0 \leqq x < 1$）のとき

与えられた方程式は以下のようになる。

$$ x^2 - 0 - \frac{5}{4} = 0 $$

$$ x^2 = \frac{5}{4} $$

$$ x = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} $$

ここで、$2 < \sqrt{5} < 3$ であるから $1 < \frac{\sqrt{5}}{2} < 1.5$ となり、$x = \frac{\sqrt{5}}{2}$ は条件 $0 \leqq x < 1$ を満たさない。また、$x = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ は負であるため、これも条件を満たさない。よって、この場合に解は存在しない。

(ii) $[x] = 1$ （すなわち $1 \leqq x < 2$）のとき

与えられた方程式は以下のようになる。

$$ x^2 - 1 - \frac{5}{4} = 0 $$

$$ x^2 = \frac{9}{4} $$

$$ x = \pm \frac{3}{2} $$

条件 $1 \leqq x < 2$ を満たすのは $x = \frac{3}{2}$ のみである。

(i), (ii) より、条件を満たす $x$ は以下の通りである。

$$ x = \frac{3}{2} $$

解説

ガウス記号 $[x]$ を含む方程式・不等式の典型問題である。 $[x]$ が整数であることを活かして、まずは文字に置き換えて値を決定するのが基本のアプローチとなる。 (3) では、求まった解が場合分けの前提とした定義域（ $x$ の範囲）に収まっているかどうかの吟味を忘れないことが重要である。平方根の近似値を用いた大小評価も頻出の操作である。