北海道大学 1998年 文系 第3問 解説

方針・初手

小数部分を扱う問題の定石通り、元の数からその整数部分を引いたものとして立式する。 $\frac{1}{x}$ の整数部分を文字でおき、小数部分が満たすべき不等式（$0$ 以上 $1$ 未満）を利用して $x$ の取り得る値の範囲を絞り込むことから始める。得られた関係式を $x$ についての方程式とみて解き、最後にその解が条件を満たすことを確認する。

解法1

$\frac{1}{x}$ の整数部分を $n$ とする。$x$ は正の数であるから $\frac{1}{x} > 0$ であり、$n$ は $0$ 以上の整数となる。

このとき、$\frac{1}{x}$ の小数部分は $\frac{1}{x} - n$ と表される。 問題の条件より、これが $\frac{x}{2}$ に等しいから、以下の等式が成り立つ。

$$ \frac{1}{x} - n = \frac{x}{2} $$

また、ある数の小数部分は定義より $0$ 以上 $1$ 未満であるから、

$$ 0 \leqq \frac{x}{2} < 1 $$

すなわち、

$$ 0 \leqq x < 2 $$

を満たさなければならない。問題文より $x > 0$ であるため、

$$ 0 < x < 2 $$

となる。 次に、最初の方程式の両辺に $2x$ を掛けて整理する。

$$ 2 - 2nx = x^2 $$

$$ x^2 + 2nx - 2 = 0 $$

これを $x$ についての2次方程式とみて解の公式を用いると、

$$ x = -n \pm \sqrt{n^2 + 2} $$

$x > 0$ であるため、適するのは正の解である。

$$ x = -n + \sqrt{n^2 + 2} $$

ここで、この $x$ が先に求めた条件 $0 < x < 2$ を満たすかどうかを確認する。 まず、$n^2 + 2 > n^2$ より $\sqrt{n^2 + 2} > n$ であるから、

$$ -n + \sqrt{n^2 + 2} > 0 $$

は常に成り立つ。 続いて、$n$ は $0$ 以上の整数であるから、

$$ (n + 2)^2 - (n^2 + 2) = n^2 + 4n + 4 - n^2 - 2 = 4n + 2 > 0 $$

よって、$n^2 + 2 < (n + 2)^2$ が成り立つ。両辺は正であるから平方根をとって、

$$ \sqrt{n^2 + 2} < n + 2 $$

$$ -n + \sqrt{n^2 + 2} < 2 $$

以上より、$0$ 以上の任意の整数 $n$ に対して $0 < x < 2$ は満たされる。

逆にこのとき、$\frac{1}{x}$ を計算して十分性を確認する。

$$ \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2} - n} $$

分母と分子に $\sqrt{n^2 + 2} + n$ を掛けて有理化すると、

$$ \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{n^2 + 2} + n}{(\sqrt{n^2 + 2} - n)(\sqrt{n^2 + 2} + n)} = \frac{\sqrt{n^2 + 2} + n}{2} $$

一方で、$\frac{x}{2} + n$ を計算すると、

$$ \frac{x}{2} + n = \frac{\sqrt{n^2 + 2} - n}{2} + \frac{2n}{2} = \frac{\sqrt{n^2 + 2} + n}{2} $$

したがって、$\frac{1}{x} = \frac{x}{2} + n$ が成り立つ。 $0 < x < 2$ より $0 < \frac{x}{2} < 1$ であるため、確かに $\frac{1}{x}$ の整数部分は $n$ であり、小数部分は $\frac{x}{2}$ となっている。

解説

• 「実数 $a$ の小数部分は $a - n$ （$n$ は $a$ の整数部分）」という定義に忠実に立式できるかが最大のポイントである。
• 小数部分は常に $0 \leqq (\text{小数部分}) < 1$ の範囲にあるため、これを用いて変数の範囲を絞り込むのは常套手段である。本問ではこれにより $x$ の範囲を限定している。
• 解が有限個の値に定まらず、無限に存在する（パラメータ $n$ で表される）形式になる点で少し戸惑うかもしれないが、「すべて求めよ」という指示に従い、一般の整数 $n$ に対する式を答えとすればよい。
• 求めた $x$ が実際に条件を満たすこと（十分性）の確認を怠らないように記述することで、論理的な隙のない解答となる。

答え

$x = \sqrt{n^2 + 2} - n$ （$n$ は $0$ 以上の整数）