北海道大学 2011年 理系 第5問 解説

方針・初手

定積分で表された関数の微分の基本公式 $\frac{d}{dx}\int_x^{x+a} f(\theta) d\theta = f(x+a) - f(x)$ を用いる。(2)の導関数を含む不等式は、両辺が $0$ 以上であることを利用して平方し、和と積の公式を用いて解く。(3)で実際に定積分を計算する際は、半角の公式を用いて根号を外すが、その際に絶対値記号がつくため、積分区間と被積分関数の符号に注意して処理する。

解法1

(1)

微積分の基本定理より、$F(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ F'(x) = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x+a} \sqrt{1 - \cos\theta} d\theta - \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \sqrt{1 - \cos\theta} d\theta $$

$$ F'(x) = \sqrt{1 - \cos(x+a)} - \sqrt{1 - \cos x} $$

(2)

$F'(x) \leqq 0$ より、

$$ \sqrt{1 - \cos(x+a)} - \sqrt{1 - \cos x} \leqq 0 $$

$$ \sqrt{1 - \cos(x+a)} \leqq \sqrt{1 - \cos x} $$

この不等式の両辺はともに $0$ 以上であるから、両辺を $2$ 乗しても同値である。

$$ 1 - \cos(x+a) \leqq 1 - \cos x $$

$$ \cos x - \cos(x+a) \leqq 0 $$

和と積の公式 $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ を用いて左辺を変形すると、

$$ -2\sin\frac{x + (x+a)}{2}\sin\frac{x - (x+a)}{2} \leqq 0 $$

$$ 2\sin\frac{a}{2}\sin\left(x + \frac{a}{2}\right) \leqq 0 $$

条件より $0 < a < 2\pi$ であるから、$0 < \frac{a}{2} < \pi$ となり、$\sin\frac{a}{2} > 0$ である。 したがって、両辺を $2\sin\frac{a}{2}$ で割って整理すると、以下の不等式と同値になる。

$$ \sin\left(x + \frac{a}{2}\right) \leqq 0 $$

$0 < x < 2\pi$ より、角 $x + \frac{a}{2}$ のとり得る値の範囲は

$$ \frac{a}{2} < x + \frac{a}{2} < 2\pi + \frac{a}{2} $$

である。この範囲において $\sin\left(x + \frac{a}{2}\right) \leqq 0$ となる条件は、

$$ \pi \leqq x + \frac{a}{2} \leqq 2\pi $$

これを $x$ について解くと、求める範囲が得られる。

$$ \pi - \frac{a}{2} \leqq x \leqq 2\pi - \frac{a}{2} $$

(3)

(2)の導出より、$F'(x)$ の符号は $\sin\left(x + \frac{a}{2}\right)$ の符号と一致する。 したがって、$F'(x)$ は $0 < x < \pi - \frac{a}{2}$ および $2\pi - \frac{a}{2} < x < 2\pi$ の区間で正となり、$\pi - \frac{a}{2} < x < 2\pi - \frac{a}{2}$ の区間で負となる。 ゆえに、$F(x)$ は $x = \pi - \frac{a}{2}$ で極大値をとり、$x = 2\pi - \frac{a}{2}$ で極小値をとる。

極値の計算に入る前に、被積分関数を半角の公式を用いて変形しておく。

$$ \sqrt{1 - \cos\theta} = \sqrt{2\sin^2\frac{\theta}{2}} = \sqrt{2}\left|\sin\frac{\theta}{2}\right| $$

極大値の計算

極大値は $F\left(\pi - \frac{a}{2}\right)$ である。

$$ F\left(\pi - \frac{a}{2}\right) = \int_{\pi - a/2}^{\pi + a/2} \sqrt{2}\left|\sin\frac{\theta}{2}\right| d\theta $$

$0 < a < 2\pi$ より $0 < \frac{a}{2} < \pi$ であるから、積分区間は $0 < \pi - \frac{a}{2} \leqq \theta \leqq \pi + \frac{a}{2} < 2\pi$ を満たす。 この区間では常に $0 < \frac{\theta}{2} < \pi$ であり、$\sin\frac{\theta}{2} > 0$ となるため絶対値記号はそのまま外すことができる。

$$ \begin{aligned} F\left(\pi - \frac{a}{2}\right) &= \int_{\pi - a/2}^{\pi + a/2} \sqrt{2}\sin\frac{\theta}{2} d\theta \\ &= \sqrt{2}\left[ -2\cos\frac{\theta}{2} \right]_{\pi - a/2}^{\pi + a/2} \\ &= -2\sqrt{2}\left( \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{a}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{a}{4}\right) \right) \end{aligned} $$

ここで加法定理等より、$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{a}{4}\right) = -\sin\frac{a}{4}$、$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{a}{4}\right) = \sin\frac{a}{4}$ であるから、

$$ F\left(\pi - \frac{a}{2}\right) = -2\sqrt{2}\left( -\sin\frac{a}{4} - \sin\frac{a}{4} \right) = 4\sqrt{2}\sin\frac{a}{4} $$

極小値の計算

極小値は $F\left(2\pi - \frac{a}{2}\right)$ である。

$$ F\left(2\pi - \frac{a}{2}\right) = \int_{2\pi - a/2}^{2\pi + a/2} \sqrt{2}\left|\sin\frac{\theta}{2}\right| d\theta $$

積分区間は $\theta = 2\pi$ をまたぐ。 $2\pi - \frac{a}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi$ のとき、$\pi - \frac{a}{4} \leqq \frac{\theta}{2} \leqq \pi$ より $\sin\frac{\theta}{2} \geqq 0$ である。 $2\pi \leqq \theta \leqq 2\pi + \frac{a}{2}$ のとき、$\pi \leqq \frac{\theta}{2} \leqq \pi + \frac{a}{4}$ より $\sin\frac{\theta}{2} \leqq 0$ である。 したがって、絶対値を正しく外すために $\theta = 2\pi$ を境として積分を分割する。

$$ \begin{aligned} F\left(2\pi - \frac{a}{2}\right) &= \int_{2\pi - a/2}^{2\pi} \sqrt{2}\sin\frac{\theta}{2} d\theta + \int_{2\pi}^{2\pi + a/2} \left(-\sqrt{2}\sin\frac{\theta}{2}\right) d\theta \\ &= \sqrt{2}\left[ -2\cos\frac{\theta}{2} \right]_{2\pi - a/2}^{2\pi} - \sqrt{2}\left[ -2\cos\frac{\theta}{2} \right]_{2\pi}^{2\pi + a/2} \\ &= -2\sqrt{2}\left( \cos\pi - \cos\left(\pi - \frac{a}{4}\right) \right) + 2\sqrt{2}\left( \cos\left(\pi + \frac{a}{4}\right) - \cos\pi \right) \end{aligned} $$

ここで $\cos\pi = -1$ であり、また $\cos\left(\pi - \frac{a}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{a}{4}\right) = -\cos\frac{a}{4}$ であるから、

$$ \begin{aligned} F\left(2\pi - \frac{a}{2}\right) &= -2\sqrt{2}\left( -1 + \cos\frac{a}{4} \right) + 2\sqrt{2}\left( -\cos\frac{a}{4} + 1 \right) \\ &= 2\sqrt{2}\left( 1 - \cos\frac{a}{4} \right) + 2\sqrt{2}\left( 1 - \cos\frac{a}{4} \right) \\ &= 4\sqrt{2}\left( 1 - \cos\frac{a}{4} \right) \end{aligned} $$

解説

この問題のポイントは、被積分関数に含まれる $\sqrt{1 - \cos\theta}$ を、半角の公式を利用して $\sqrt{2}\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|$ と変形することである。根号を外す際に絶対値がつく点に注意し、積分区間における $\sin\frac{\theta}{2}$ の符号に応じて丁寧に場合分けを行う必要がある。また、(2)の不等式を解く過程で、平方による同値変形や和と積の公式を利用する処理は頻出であるため、正確に実行できるようにしておきたい。

答え

(1) $F'(x) = \sqrt{1 - \cos(x+a)} - \sqrt{1 - \cos x}$

(2) $\pi - \frac{a}{2} \leqq x \leqq 2\pi - \frac{a}{2}$

(3) 極大値 $4\sqrt{2}\sin\frac{a}{4}$ $\left( x = \pi - \frac{a}{2} \text{ のとき} \right)$、極小値 $4\sqrt{2}\left( 1 - \cos\frac{a}{4} \right)$ $\left( x = 2\pi - \frac{a}{2} \text{ のとき} \right)$