東北大学 2016年 理系 第6問 解説

方針・初手

絶対値つき積分なので，まず

$$ \sin(t-x)-\sin 2t $$

の符号がどこで変わるかを調べる。

差の公式を用いると

$$ \sin(t-x)-\sin 2t =2\cos\frac{3t-x}{2}\sin\frac{-t-x}{2} =-2\sin\frac{t+x}{2}\cos\frac{3t-x}{2} $$

である。したがって，$0<x<\pi,\ 0<t<\pi$ では

$$ \sin\frac{t+x}{2}>0 $$

だから，符号は $-\cos\dfrac{3t-x}{2}$ の符号で決まる。

解法1

$0<x<\pi$ として計算する。

符号が変わる点は

$$ \cos\frac{3t-x}{2}=0 $$

より

$$ \frac{3t-x}{2}=\frac{\pi}{2}, \qquad t=\frac{\pi+x}{3} $$

である。これを

$$ a=\frac{\pi+x}{3} $$

とおく。

$0\le t\le a$ では

$$ \sin(t-x)-\sin 2t\le 0 $$

$a\le t\le \pi$ では

$$ \sin(t-x)-\sin 2t\ge 0 $$

である。よって

$$ f(x)= \int_0^a\{\sin 2t-\sin(t-x)\}\,dt + \int_a^\pi\{\sin(t-x)-\sin 2t\}\,dt $$

となる。

それぞれ計算すると

$$ \begin{aligned} \int_0^a\{\sin 2t-\sin(t-x)\}\,dt &=\left[-\frac12\cos2t+\cos(t-x)\right]_0^a\\ &=-\frac12\cos2a+\cos(a-x)+\frac12-\cos x, \end{aligned} $$

また

$$ \begin{aligned} \int_a^\pi\{\sin(t-x)-\sin 2t\}\,dt &=\left[-\cos(t-x)+\frac12\cos2t\right]_a^\pi\\ &=\cos x+\frac12+\cos(a-x)-\frac12\cos2a. \end{aligned} $$

したがって

$$ f(x)=1+2\cos(a-x)-\cos2a. $$

ここで

$$ a-x=\frac{\pi-2x}{3}, \qquad 2a=\frac{2(\pi+x)}{3} =\pi-\frac{\pi-2x}{3} $$

だから

$$ -\cos2a =-\cos\left(\pi-\frac{\pi-2x}{3}\right) =\cos\frac{\pi-2x}{3}. $$

よって

$$ f(x)=1+3\cos\frac{\pi-2x}{3}. $$

この式は $x=0,\pi$ でも連続性により成り立つ。

ここで

$$ 0\le x\le\pi $$

のとき

$$ -\frac{\pi}{3}\le \frac{\pi-2x}{3}\le \frac{\pi}{3}. $$

したがって

$$ \frac12\le \cos\frac{\pi-2x}{3}\le 1. $$

ゆえに

$$ \frac52\le f(x)\le 4. $$

最大値は

$$ \frac{\pi-2x}{3}=0 $$

すなわち

$$ x=\frac{\pi}{2} $$

のときに

$$ 4 $$

である。

最小値は

$$ \frac{\pi-2x}{3}=\pm\frac{\pi}{3} $$

すなわち

$$ x=0,\ \pi $$

のときに

$$ \frac52 $$

である。

解説

この問題では，絶対値の中身の符号変化を正確に追うことが本質である。

特に，端点 $x=0$ の値を直接確認すると

$$ f(0)=\int_0^\pi|\sin t-\sin2t|\,dt=\frac52 $$

であり，最小値を $2$ とする答えはここで矛盾する。

符号変化点 $t=\dfrac{\pi+x}{3}$ で積分区間を分ければ，

$$ f(x)=1+3\cos\frac{\pi-2x}{3} $$

まで一直線に整理できる。

答え

$$ f(x)=1+3\cos\frac{\pi-2x}{3} \qquad (0\le x\le \pi) $$

したがって，

$$ \text{最大値 }4 \quad\left(x=\frac{\pi}{2}\right) $$

$$ \text{最小値 }\frac52 \quad(x=0,\ \pi) $$