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北海道大学 2014年理系第5問解説

方針・初手

(1)は定積分で表された関数の微分である。被積分関数が連続であるため、微積分学の基本定理より $\frac{d}{dx} \int_{x}^{x+a} g(\theta) d\theta = g(x+a) - g(x)$ を用いる。絶対値記号はそのまま残してよい。
(2)は(1)で求めた導関数 $f'(x)$ の符号を調べ、増減表を作成して最大値と最小値を求める。$0 \leqq x \leqq \pi$ の範囲において、絶対値記号の中身である $\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ と $\sin x$ の符号がどう変化するかに着目して場合分けを行う。

解法1

(1)

被積分関数 $|\sin \theta|$ は連続関数であるから、両辺を $x$ で微分すると、

$$ f'(x) = \left| \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right| - |\sin x| $$

となる。

(2)

$0 \leqq x \leqq \pi$ において、常に $\sin x \geqq 0$ であるから、$|\sin x| = \sin x$ となる。一方、$x + \frac{\pi}{3}$ の取り得る値の範囲は $\frac{\pi}{3} \leqq x + \frac{\pi}{3} \leqq \frac{4}{3}\pi$ である。したがって、$\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ の符号は $x + \frac{\pi}{3} = \pi$、すなわち $x = \frac{2}{3}\pi$ を境に変化する。

(i) $0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\pi$ のとき

$\frac{\pi}{3} \leqq x + \frac{\pi}{3} \leqq \pi$ より $\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \geqq 0$ であるから、

$$ f'(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - \sin x $$

和積の公式 $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を用いて変形すると、

$$ f'(x) = 2 \cos \left( \frac{x + \frac{\pi}{3} + x}{2} \right) \sin \left( \frac{x + \frac{\pi}{3} - x}{2} \right) $$

$$ f'(x) = 2 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \sin \frac{\pi}{6} $$

$$ f'(x) = \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) $$

$0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\pi$ より $\frac{\pi}{6} \leqq x + \frac{\pi}{6} \leqq \frac{5}{6}\pi$ である。この範囲で $f'(x) = 0$ となるのは、$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ すなわち $x = \frac{\pi}{3}$ のときである。

(ii) $\frac{2}{3}\pi \leqq x \leqq \pi$ のとき

$\pi \leqq x + \frac{\pi}{3} \leqq \frac{4}{3}\pi$ より $\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \leqq 0$ であるから、

$$ f'(x) = -\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - \sin x $$

和積の公式 $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を用いて変形すると、

$$ f'(x) = -\left( 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \cos \frac{\pi}{6} \right) $$

$$ f'(x) = -\sqrt{3} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) $$

$\frac{2}{3}\pi \leqq x \leqq \pi$ より $\frac{5}{6}\pi \leqq x + \frac{\pi}{6} \leqq \frac{7}{6}\pi$ である。この範囲で $f'(x) = 0$ となるのは、$x + \frac{\pi}{6} = \pi$ すなわち $x = \frac{5}{6}\pi$ のときである。

以上より、$0 \leqq x \leqq \pi$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\frac{5}{6}\pi$	$\cdots$	$\pi$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

次に、極値と区間の端点における $f(x)$ の値を求める。

$x = 0$ のとき、

$$ f(0) = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin \theta d\theta = \left[ -\cos \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2} $$

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき、積分区間 $[\frac{\pi}{3}, \frac{2}{3}\pi]$ で $\sin \theta \geqq 0$ より、

$$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3}\pi} \sin \theta d\theta = \left[ -\cos \theta \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3}\pi} = -\left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 $$

$x = \frac{5}{6}\pi$ のとき、積分区間 $[\frac{5}{6}\pi, \frac{7}{6}\pi]$ で $\theta = \pi$ を境に $\sin \theta$ の符号が変わるため、

$$ f\left(\frac{5}{6}\pi\right) = \int_{\frac{5}{6}\pi}^{\pi} \sin \theta d\theta + \int_{\pi}^{\frac{7}{6}\pi} (-\sin \theta) d\theta $$

$$ f\left(\frac{5}{6}\pi\right) = \left[ -\cos \theta \right]_{\frac{5}{6}\pi}^{\pi} + \left[ \cos \theta \right]_{\pi}^{\frac{7}{6}\pi} $$

$$ f\left(\frac{5}{6}\pi\right) = \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-1) \right) = 2 - \sqrt{3} $$

$x = \pi$ のとき、積分区間 $[\pi, \frac{4}{3}\pi]$ で $\sin \theta \leqq 0$ より、

$$ f(\pi) = \int_{\pi}^{\frac{4}{3}\pi} (-\sin \theta) d\theta = \left[ \cos \theta \right]_{\pi}^{\frac{4}{3}\pi} = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2} $$

これらの値を比較する。$\sqrt{3} \approx 1.732$ であるから $2 - \sqrt{3} \approx 0.268$ となり、$\frac{1}{2} > 2 - \sqrt{3}$ である。したがって、最大値は $1$、最小値は $2 - \sqrt{3}$ となる。

解説

絶対値を含む定積分関数の典型問題である。積分区間の両端が変数となっているため、そのまま微分公式を適用する。
(2)では絶対値を外すために場合分けが必須となる。角度の範囲に注意して、和積の公式を利用すると方程式の解や符号の判別が容易になる。
積分区間内で被積分関数の符号が変わる箇所（$x = \frac{5}{6}\pi$ のときの $\theta = \pi$ など）では、定積分を分割して計算する基本操作が求められる。