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北海道大学 2017年理系第2問解説

方針・初手

(1) は関数 $f(x)$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求め、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ の範囲で増減表を作成して最大値と最小値を特定する。

(2) は不定積分 $\int f(x) dx$ を計算する。項ごとに積分を行い、$x \cos x$ の部分については部分積分法を用いる。

(3) は絶対値を含む定積分である。被積分関数 $f(x)$ の符号が変わる境界を特定し、積分区間を分割して絶対値を外す。(1) の結果から符号が切り替わる区間の見当をつけ、具体的な値を代入して境界を見つける。その後、(2) で求めた不定積分を利用して計算する。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x) = 1 + \sin x - x \cos x$ を $x$ で微分する。積の微分公式より、

$$ f'(x) = \cos x - (\cos x - x \sin x) = x \sin x $$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ において $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$x = 0$ または $\sin x = 0$ であるから、この範囲における解は $x = 0, \pi, 2\pi$ である。

これをもとに $0 \leqq x \leqq 2\pi$ における $f(x)$ の増減表を作成すると、以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$2\pi$
$f'(x)$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f(x)$	$1$	$\nearrow$	$1+\pi$	$\searrow$	$1-2\pi$

増減表に現れる $f(x)$ の値を計算する。

$$ f(0) = 1 + \sin 0 - 0 \cdot \cos 0 = 1 $$

$$ f(\pi) = 1 + \sin \pi - \pi \cos \pi = 1 + 0 - \pi \cdot (-1) = 1 + \pi $$

$$ f(2\pi) = 1 + \sin 2\pi - 2\pi \cos 2\pi = 1 + 0 - 2\pi \cdot 1 = 1 - 2\pi $$

したがって、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ における最大値は $1 + \pi$ ($x = \pi$ のとき)、最小値は $1 - 2\pi$ ($x = 2\pi$ のとき) である。

(2)

$f(x)$ の不定積分を $\int f(x) dx$ とし、これを計算する。

$$ \int f(x) dx = \int (1 + \sin x - x \cos x) dx = x - \cos x - \int x \cos x dx $$

ここで、右辺の積分 $\int x \cos x dx$ について部分積分法を用いる。

$$ \int x \cos x dx = \int x (\sin x)' dx $$

$$ = x \sin x - \int 1 \cdot \sin x dx $$

$$ = x \sin x - (-\cos x) + C_1 = x \sin x + \cos x + C_1 $$

（$C_1$ は積分定数）

これを元の式に代入する。

$$ \int f(x) dx = x - \cos x - (x \sin x + \cos x + C_1) $$

$$ = x - 2\cos x - x \sin x + C $$

（$C$ は積分定数、$C = -C_1$）

(3)

定積分 $\int_0^{2\pi} |f(x)| dx$ を計算するため、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ における $f(x)$ の符号を調べる。

(1) の増減表より、$f(x)$ は $x = 0$ で $1$ から始まり、$x = \pi$ で最大値 $1 + \pi$ (> 0) をとり、その後単調減少して $x = 2\pi$ で $1 - 2\pi$ (< 0) となる。

したがって、区間 $\pi \leqq x \leqq 2\pi$ において $f(x) = 0$ となる $x$ がただ一つ存在する。ここで $x = \frac{3}{2}\pi$ を代入して確認する。

$$ f\left(\frac{3}{2}\pi\right) = 1 + \sin\left(\frac{3}{2}\pi\right) - \frac{3}{2}\pi \cos\left(\frac{3}{2}\pi\right) = 1 - 1 - 0 = 0 $$

よって、$f(x)$ の符号は以下のように分かる。

$0 \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi$ のとき $f(x) \geqq 0$

$\frac{3}{2}\pi \leqq x \leqq 2\pi$ のとき $f(x) \leqq 0$

これにより、積分区間を分割して絶対値を外すことができる。

$$ \int_0^{2\pi} |f(x)| dx = \int_0^{\frac{3}{2}\pi} f(x) dx + \int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi} \{-f(x)\} dx $$

ここで、(2) で求めた不定積分を用いて $F(x) = x - 2\cos x - x \sin x$ とおく。

必要な各境界における $F(x)$ の値を計算する。

$$ F(0) = 0 - 2\cos 0 - 0 = -2 $$

$$ F\left(\frac{3}{2}\pi\right) = \frac{3}{2}\pi - 2\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right) - \frac{3}{2}\pi \sin\left(\frac{3}{2}\pi\right) = \frac{3}{2}\pi - 0 - \frac{3}{2}\pi \cdot (-1) = 3\pi $$

$$ F(2\pi) = 2\pi - 2\cos 2\pi - 0 = 2\pi - 2 $$

これらの値を用いて定積分を計算する。

$$ \int_0^{\frac{3}{2}\pi} f(x) dx = F\left(\frac{3}{2}\pi\right) - F(0) = 3\pi - (-2) = 3\pi + 2 $$

$$ \int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi} \{-f(x)\} dx = -\left\{ F(2\pi) - F\left(\frac{3}{2}\pi\right) \right\} = -(2\pi - 2 - 3\pi) = \pi + 2 $$

よって、求める定積分の値はこれらの和となる。

$$ \int_0^{2\pi} |f(x)| dx = (3\pi + 2) + (\pi + 2) = 4\pi + 4 $$

解説

(1) は積の微分公式を用いた導関数の計算と増減表の作成、(2) は部分積分法を用いた基本的な不定積分の計算であり、どちらも標準的な処理である。

(3) で絶対値付きの定積分を計算するには、被積分関数 $f(x)$ の符号が切り替わる境界を特定する必要がある。(1) の結果から境界が $\pi < x < 2\pi$ の間に存在することは明らかであるが、方程式 $1 + \sin x - x \cos x = 0$ を代数的に解くことは難しい。

このような場合、$x = \frac{3}{2}\pi$ のように三角関数の値が簡単になる角度（直角の整数倍など）を代入してみて、方程式を満たす解を「見つける」というアプローチが極めて有効である。本問は、この解の発見ができるかどうかが完答のための最大のポイントとなっている。