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北海道大学 1993年理系第3問解説

方針・初手

(1) 定積分 $F(x)$ の被積分関数 $\frac{1}{t^2+a}$ は、$t = \sqrt{a}\tan\theta$ と置換積分することで計算できる典型的な形である。

(2) $I(x)$ が $x=2$ で最大値をとる条件を考える。導関数 $I'(x)$ を求めて増減を調べる。微積分学の基本定理を用いて $I'(x)$ を計算し、極値をとるための必要十分条件を確認する。

解法1

(1)

$F(x) = \int_0^x \frac{dt}{t^2+a}$ において、$t = \sqrt{a}\tan\theta$ とおく。

$$ dt = \frac{\sqrt{a}}{\cos^2\theta} d\theta $$

積分区間は $t$ が $0 \to x$ に変化するとき、$\theta$ は $0 \to \alpha$ に変化する。ただし、$\alpha$ は $\tan\alpha = \frac{x}{\sqrt{a}}$ かつ $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ を満たす角とする。

$$ \begin{aligned} F(x) &= \int_0^\alpha \frac{1}{a\tan^2\theta+a} \frac{\sqrt{a}}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_0^\alpha \frac{1}{a\left(\frac{1}{\cos^2\theta}\right)} \frac{\sqrt{a}}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_0^\alpha \frac{1}{\sqrt{a}} d\theta \\ &= \left[ \frac{1}{\sqrt{a}} \theta \right]_0^\alpha \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \alpha \end{aligned} $$

ここで、$I(x) = F(3x) - F(x)$ より、

$$ I\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right) = F(\sqrt{3a}) - F\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right) $$

$x = \sqrt{3a}$ のとき、$\tan\alpha = \frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{a}} = \sqrt{3}$ となり、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ である。よって、

$$ F(\sqrt{3a}) = \frac{\pi}{3\sqrt{a}} $$

$x = \sqrt{\frac{a}{3}}$ のとき、$\tan\alpha = \frac{\sqrt{a/3}}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となり、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ である。よって、

$$ F\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right) = \frac{\pi}{6\sqrt{a}} $$

したがって、求める値は、

$$ \begin{aligned} I\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right) &= \frac{\pi}{3\sqrt{a}} - \frac{\pi}{6\sqrt{a}} \\ &= \frac{\pi}{6\sqrt{a}} \end{aligned} $$

(2)

$I(x)$ の導関数 $I'(x)$ を求める。微積分学の基本定理より、

$$ \begin{aligned} I'(x) &= \frac{d}{dx} \left( \int_0^{3x} \frac{dt}{t^2+a} - \int_0^x \frac{dt}{t^2+a} \right) \\ &= \frac{1}{(3x)^2+a} \cdot (3x)' - \frac{1}{x^2+a} \cdot (x)' \\ &= \frac{3}{9x^2+a} - \frac{1}{x^2+a} \\ &= \frac{3(x^2+a) - (9x^2+a)}{(9x^2+a)(x^2+a)} \\ &= \frac{2(a-3x^2)}{(9x^2+a)(x^2+a)} \end{aligned} $$

$I(x)$ が $x=2$ で最大値をとるならば、$x=2$ で極大値をとるため、$I'(2) = 0$ が必要である。

$$ I'(2) = \frac{2(a-12)}{(36+a)(4+a)} = 0 $$

これを解いて、$a = 12$ を得る。これは $a>0$ を満たす。

逆に $a = 12$ のとき、

$$ \begin{aligned} I'(x) &= \frac{2(12-3x^2)}{(9x^2+12)(x^2+12)} \\ &= \frac{-6(x-2)(x+2)}{3(3x^2+4)(x^2+12)} \\ &= \frac{-2(x-2)(x+2)}{(3x^2+4)(x^2+12)} \end{aligned} $$

分母は常に正であるから、$I'(x)$ の符号は分子の $-2(x-2)(x+2)$ の符号と一致する。また、

$$ I(-x) = \int_0^{-3x} \frac{dt}{t^2+a} - \int_0^{-x} \frac{dt}{t^2+a} $$

において、$t = -u$ とおくと $dt = -du$ であり、

$$ \begin{aligned} I(-x) &= \int_0^{3x} \frac{-du}{(-u)^2+a} - \int_0^{x} \frac{-du}{(-u)^2+a} \\ &= -\left( \int_0^{3x} \frac{du}{u^2+a} - \int_0^x \frac{du}{u^2+a} \right) \\ &= -I(x) \end{aligned} $$

よって $I(x)$ は奇関数である。$x \ge 0$ の範囲における増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$I'(x)$		$+$	$0$	$-$
$I(x)$	$0$	$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$I(x)$ は $x \ge 0$ において $x=2$ のとき最大値をとる。さらに、$I(x)$ は奇関数であるから、$x<0$ の範囲では $x=-2$ のとき極小かつ最小となる。したがって、実数全体においても $I(x)$ は $x=2$ で最大値をとることが確認できた。

よって、求める $a$ の値は $a=12$ である。

解説

(1) は $\frac{1}{t^2+a^2}$ の積分であり、$t = a\tan\theta$ と置換する定石通りの計算である。直接定積分 $\int_{\sqrt{a/3}}^{\sqrt{3a}} \frac{dt}{t^2+a}$ を計算しても同様に結果を得ることができる。

(2) は定積分で表された関数の微分の基本事項である $\frac{d}{dx}\int_c^{g(x)} f(t) dt = f(g(x))g'(x)$ を用いる。最大値をとるための必要条件として $I'(2)=0$ を立式し $a$ の候補を求めた後、十分性（実際に $x=2$ で最大値をとること）の確認を記述することが重要である。また、関数の対称性（奇関数であること）に言及することで、$x<0$ での最大値の有無の議論を簡潔に済ませることができる。