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北海道大学 2017年理系第1問解説

方針・初手

(1) は与えられた等式を展開し、$a$ について解くことから始める。その際、$n$ が自然数（$n \geqq 1$）であることと、$k$ が自然数であることから作られる不等式を利用する。 (2) は「$n(n+1)+14$ が平方数となる」という条件を、自然数 $k$ を用いて $n(n+1)+14=(n+k)^2$ と立式する。これは (1) において $a=14$ とした形であるため、(1) で示した不等式を活用して $k$ の候補を絞り込む。

解法1

(1)

与えられた等式 $n(n+1)+a=(n+k)^2$ を展開して整理する。

$$ n^2+n+a = n^2+2kn+k^2 $$

$$ n+a = 2kn+k^2 $$

これを $a$ について解くと、次のようになる。

$$ a = (2k-1)n+k^2 $$

ここで、$k$ は自然数であるから $2k-1 \geqq 1 > 0$ である。また、$n$ も自然数であるから $n \geqq 1$ である。したがって、次のように下から評価できる。

$$ \begin{aligned} a &= (2k-1)n+k^2 \\ &\geqq (2k-1) \cdot 1 + k^2 \\ &= k^2+2k-1 \end{aligned} $$

よって、$a \geqq k^2+2k-1$ が成り立つことが示された。

(2)

$n(n+1)+14$ が平方数となるとき、自然数 $k$ を用いて次のように表すことができる。

$$ n(n+1)+14 = (n+k)^2 $$

これは (1) の等式において $a=14$ とした場合である。 (1) の結果より、$14 \geqq k^2+2k-1$ が成り立つ。この不等式を整理する。

$$ k^2+2k-15 \leqq 0 $$

$$ (k+5)(k-3) \leqq 0 $$

これを解くと $-5 \leqq k \leqq 3$ となる。 $k$ は自然数であるから、$k$ のとり得る値は $k=1, 2, 3$ に絞られる。 (1) の証明中で得た式 $a = (2k-1)n+k^2$ に $a=14$ を代入した式

$$ 14 = (2k-1)n+k^2 $$

を用いて、各 $k$ について $n$ を求める。

(i) $k=1$ のとき

$$ 14 = (2 \cdot 1 - 1)n + 1^2 $$

$$ 14 = n+1 $$

$$ n = 13 $$

これは $n$ が自然数であるという条件を満たす。

(ii) $k=2$ のとき

$$ 14 = (2 \cdot 2 - 1)n + 2^2 $$

$$ 14 = 3n+4 $$

$$ 3n = 10 $$

$n = \frac{10}{3}$ となり、$n$ は自然数ではないため不適である。

(iii) $k=3$ のとき

$$ 14 = (2 \cdot 3 - 1)n + 3^2 $$

$$ 14 = 5n+9 $$

$$ 5n = 5 $$

$$ n = 1 $$

これは $n$ が自然数であるという条件を満たす。

(i), (ii), (iii) より、求める自然数 $n$ は $n=1, 13$ である。

解説

整数問題における「不等式による絞り込み」の典型的な問題である。 (1) は、等式を一方の文字（ここでは $a$）について解き、他の文字（ここでは $n$）の変域（$n \geqq 1$）を利用して不等式を導くという基本的な操作を問うている。 (2) は、前の設問の結果を利用する典型的な誘導問題である。「平方数になる」という条件を自身で等式化し、(1) で得た不等式に帰着させることで未知数の範囲を制限できる。範囲を絞った後は、すべての場合を順番に調べ上げる（しらみつぶし）ことで確実に正解にたどり着くことができる。