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大阪大学 2017年理系第3問解説

方針・初手

(1) 与えられた不等式(A)から $\frac{a}{b}$ の範囲を求め、その上限を用いて $\left| \frac{a}{b} + \sqrt{7} \right|$ の値を評価する。

(2) 無理数の有理数近似における定石として、(A)の両辺に $\left| \frac{a}{b} + \sqrt{7} \right|$ を掛ける。これにより絶対値の中身が整数の式になり、(1)の評価結果を用いることで $b$ の取り得る値を絞り込める。

解法1

(1)

与えられた不等式(A)より、

$$ -\frac{2}{b^4} < \frac{a}{b} - \sqrt{7} < \frac{2}{b^4} $$

$$ \sqrt{7} - \frac{2}{b^4} < \frac{a}{b} < \sqrt{7} + \frac{2}{b^4} $$

$a, b$ は自然数であるから $\frac{a}{b} > 0$ であり、$\sqrt{7} > 0$ であるから、

$$ \left| \frac{a}{b} + \sqrt{7} \right| = \frac{a}{b} + \sqrt{7} $$

上の不等式の右側を用いて、

$$ \frac{a}{b} + \sqrt{7} < \left( \sqrt{7} + \frac{2}{b^4} \right) + \sqrt{7} = 2\sqrt{7} + \frac{2}{b^4} $$

ここで、条件より $\sqrt{7} < 2.646$ であり、また $b \geqq 2$ であるから $b^4 \geqq 16$ すなわち $\frac{1}{b^4} \leqq \frac{1}{16}$ である。これらを用いると、

$$ 2\sqrt{7} + \frac{2}{b^4} < 2 \times 2.646 + \frac{2}{16} = 5.292 + 0.125 = 5.417 $$

$5.417 < 6$ であるから、

$$ \left| \frac{a}{b} + \sqrt{7} \right| < 6 $$

が示された。

(2)

不等式(A)の両辺に、正の値である $\left| \frac{a}{b} + \sqrt{7} \right|$ を掛けると、

$$ \left| \frac{a}{b} - \sqrt{7} \right| \left| \frac{a}{b} + \sqrt{7} \right| < \frac{2}{b^4} \left| \frac{a}{b} + \sqrt{7} \right| $$

左辺を計算すると、

$$ \left| \frac{a^2}{b^2} - 7 \right| = \frac{|a^2 - 7b^2|}{b^2} $$

右辺は（1）の結果を用いると、

$$ \frac{2}{b^4} \left| \frac{a}{b} + \sqrt{7} \right| < \frac{2}{b^4} \times 6 = \frac{12}{b^4} $$

したがって、次の不等式が得られる。

$$ \frac{|a^2 - 7b^2|}{b^2} < \frac{12}{b^4} $$

両辺に $b^4 (>0)$ を掛けて整理すると、

$$ b^2 |a^2 - 7b^2| < 12 \quad \dots \text{(B)} $$

ここで、$a, b$ は自然数であるから $a^2 - 7b^2$ は整数である。また、$\sqrt{7}$ が無理数であることから、$a^2 - 7b^2 \neq 0$ である（仮に $0$ とすると $\sqrt{7} = \frac{a}{b}$ となり、$\sqrt{7}$ が有理数となって矛盾するため）。よって、整数 $a^2 - 7b^2$ は $0$ ではないため、$|a^2 - 7b^2| \geqq 1$ を満たす。

ゆえに、不等式(B)から

$$ b^2 \leqq b^2 |a^2 - 7b^2| < 12 $$

$$ b^2 < 12 $$

$b \geqq 2$ の自然数であるから、これを満たす $b$ は $b = 2, 3$ に絞られる。

(i)

$b = 2$ のとき (B)に代入すると、

$$ 4 |a^2 - 28| < 12 $$

$$ |a^2 - 28| < 3 $$

これより、

$$ -3 < a^2 - 28 < 3 $$

$$ 25 < a^2 < 31 $$

これを満たす自然数 $a$ は存在しない。

(ii)

$b = 3$ のとき (B)に代入すると、

$$ 9 |a^2 - 63| < 12 $$

$$ |a^2 - 63| < \frac{4}{3} $$

$a$ は自然数より $a^2 - 63$ は整数であるから、この不等式を満たすのは $|a^2 - 63| \leqq 1$ のときである。すなわち、$a^2 - 63 = -1, 0, 1$ のいずれかとなるが、$a^2 - 63 = 0$ は $\sqrt{7}$ が無理数であることに反するため不適。よって $a^2 = 62, 64$ となるが、$a$ は自然数より $a^2$ は平方数なので、$a^2 = 64$ すなわち $a = 8$ のみ適する。

必要条件として $(a, b) = (8, 3)$ が得られたので、これが元の不等式(A)を満たすか確認する。 $a = 8, b = 3$ のとき、$\frac{a}{b} = \frac{8}{3} = 2.666\dots$ であり、条件 $\sqrt{7} < 2.646$ より $\frac{8}{3} > \sqrt{7}$ である。したがって、不等式(A)の左辺は

$$ \left| \frac{a}{b} - \sqrt{7} \right| = \frac{8}{3} - \sqrt{7} $$

これが $\frac{2}{3^4} = \frac{2}{81}$ より小さいことを示せばよい。

$$ \frac{8}{3} - \frac{2}{81} = \frac{216 - 2}{81} = \frac{214}{81} = 2.6419\dots $$

$2.645 < \sqrt{7}$ より、$\frac{214}{81} < \sqrt{7}$ は明らかに成り立つ。よって $\frac{8}{3} - \sqrt{7} < \frac{2}{81}$ は成立し、$(a, b) = (8, 3)$ は不等式(A)を満たす。

解説

無理数 $\alpha$ に対して $\left| \frac{q}{p} - \alpha \right|$ のような形を含む不等式（ペル方程式の関連やディオファントス近似）を扱う問題では、共役な式である $\left| \frac{q}{p} + \alpha \right|$ を両辺に掛けて、絶対値の中身を整数の式に帰着させるのが定石である。本問では（1）で掛ける式の評価が誘導として与えられているため、それに従って $b$ の値を絞り込んでいく。絞り込んだ後は、必要条件から求まった解が元の不等式を満たすかどうかの十分性の確認を忘れないようにしたい。