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北海道大学 2021年理系第1問解説

方針・初手

点から直線に下ろした垂線の足を求めるため、実数倍で表したベクトルと方向ベクトルの内積が $0$ になることを利用する。対称な点の位置ベクトルは、垂線の足（中点）を経由して求める。(3) の面積計算では、(1) と (2) の結果を利用し、直線 $\text{OA}$ に垂直な線分 $\text{DE}$ を底辺とみなして高さを求めるか、座標平面を導入して成分で計算すると見通しがよい。

解法1

(1)

点 $\text{F}$ は直線 $\text{OA}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\vec{OF} = k\vec{a}$ と表せる。

$\vec{FB} \perp \vec{OA}$ であるから、$\vec{FB} \cdot \vec{OA} = 0$ が成り立つ。

$$ \begin{aligned} \vec{FB} \cdot \vec{OA} &= (\vec{OB} - \vec{OF}) \cdot \vec{a} \\ &= (\vec{b} - k\vec{a}) \cdot \vec{a} \\ &= \vec{a} \cdot \vec{b} - k|\vec{a}|^2 \end{aligned} $$

これが $0$ になることと、$|\vec{a}| = 4, \vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ を代入して、

$$ 6 - k \cdot 4^2 = 0 $$

$$ 16k = 6 \iff k = \frac{3}{8} $$

よって、

$$ \vec{OF} = \frac{3}{8}\vec{a} $$

(2)

点 $\text{D}$ は辺 $\text{AB}$ を $2:1$ に内分する点なので、

$$ \vec{OD} = \frac{1\cdot\vec{a} + 2\cdot\vec{b}}{2+1} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} $$

点 $\text{D}$ から直線 $\text{OA}$ に下ろした垂線と直線 $\text{OA}$ の交点を $\text{H}$ とする。

(1) と同様に、実数 $l$ を用いて $\vec{OH} = l\vec{a}$ と表せる。

$\vec{HD} \perp \vec{OA}$ であるから、$\vec{HD} \cdot \vec{a} = 0$ が成り立つ。

$$ \begin{aligned} \vec{HD} \cdot \vec{a} &= (\vec{OD} - \vec{OH}) \cdot \vec{a} \\ &= \left( \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} - l\vec{a} \right) \cdot \vec{a} \\ &= \left( \frac{1}{3} - l \right)|\vec{a}|^2 + \frac{2}{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) \\ &= \left( \frac{1}{3} - l \right) \cdot 16 + \frac{2}{3} \cdot 6 \\ &= \frac{16}{3} - 16l + 4 \\ &= \frac{28}{3} - 16l \end{aligned} $$

これが $0$ になるので、

$$ 16l = \frac{28}{3} \iff l = \frac{7}{12} $$

ゆえに、$\vec{OH} = \frac{7}{12}\vec{a}$ である。

点 $\text{E}$ は直線 $\text{OA}$ に関して点 $\text{D}$ と対称であるから、線分 $\text{DE}$ の中点が $\text{H}$ となる。

したがって、$\vec{OH} = \frac{\vec{OD} + \vec{OE}}{2}$ が成り立つため、

$$ \begin{aligned} \vec{OE} &= 2\vec{OH} - \vec{OD} \\ &= 2 \left( \frac{7}{12}\vec{a} \right) - \left( \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} \right) \\ &= \frac{7}{6}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} \\ &= \frac{5}{6}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} \end{aligned} $$

(3)

三角形 $\text{BDE}$ の面積を求める。

線分 $\text{DE}$ は直線 $\text{OA}$ と直交しており、点 $\text{B}$ から直線 $\text{OA}$ に下ろした垂線の足が $\text{F}$、直線 $\text{DE}$ と直線 $\text{OA}$ の交点が $\text{H}$ である。

これより、底辺を $\text{DE}$ としたときの三角形 $\text{BDE}$ の高さは、線分 $\text{FH}$ の長さに等しい。

$$ \vec{FH} = \vec{OH} - \vec{OF} = \frac{7}{12}\vec{a} - \frac{3}{8}\vec{a} = \frac{14 - 9}{24}\vec{a} = \frac{5}{24}\vec{a} $$

したがって、高さ $\text{FH}$ は

$$ \text{FH} = \left| \frac{5}{24}\vec{a} \right| = \frac{5}{24} \cdot 4 = \frac{5}{6} $$

次に、底辺 $\text{DE}$ の長さを求める。

$$ \vec{HD} = \vec{OD} - \vec{OH} = \left( \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} \right) - \frac{7}{12}\vec{a} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} $$

ここで、$|\vec{HD}|^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} |\vec{HD}|^2 &= \left| -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} \right|^2 \\ &= \frac{1}{16}|\vec{a}|^2 - \frac{1}{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 \\ &= \frac{1}{16} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 \\ &= 1 - 2 + \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 \\ &= \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 - 1 \end{aligned} $$

$\text{DE} = 2|\vec{HD}|$ であるから、三角形 $\text{BDE}$ の面積は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot \text{DE} \cdot \text{FH} &= |\vec{HD}| \cdot \text{FH} \\ &= \sqrt{\frac{4}{9}|\vec{b}|^2 - 1} \cdot \frac{5}{6} \end{aligned} $$

条件より、この面積が $\frac{5}{9}$ に等しいので、

$$ \frac{5}{6}\sqrt{\frac{4}{9}|\vec{b}|^2 - 1} = \frac{5}{9} $$

$$ \sqrt{\frac{4}{9}|\vec{b}|^2 - 1} = \frac{2}{3} $$

両辺を $2$ 乗して、

$$ \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 - 1 = \frac{4}{9} $$

$$ \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 = \frac{13}{9} $$

$$ |\vec{b}|^2 = \frac{13}{4} $$

$|\vec{b}| > 0$ より、

$$ |\vec{b}| = \frac{\sqrt{13}}{2} $$

解法2

(3)の別解（座標平面を用いた解法）

点 $\text{O}$ を原点とし、直線 $\text{OA}$ を $x$ 軸とする座標平面を設定する。

$|\vec{a}| = 4$ より、点 $\text{A}$ の座標を $(4, 0)$ とおくことができる。

点 $\text{B}$ の座標を $(x, y)$ とすると、$|\vec{b}|^2 = x^2 + y^2$ である。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ より、

$$ 4 \cdot x + 0 \cdot y = 6 \iff x = \frac{3}{2} $$

したがって、$\vec{b} = \left(\frac{3}{2}, y\right)$ と表せる。

また、(2) より $\vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$ であるから、点 $\text{D}$ の座標は

$$ \frac{1}{3}(4, 0) + \frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}, y\right) = \left(\frac{4}{3}, 0\right) + \left(1, \frac{2}{3}y\right) = \left(\frac{7}{3}, \frac{2}{3}y\right) $$

点 $\text{E}$ は $x$ 軸（直線 $\text{OA}$）に関して点 $\text{D}$ と対称であるから、点 $\text{E}$ の座標は $\left(\frac{7}{3}, -\frac{2}{3}y\right)$ となる。

これより、三角形 $\text{BDE}$ の面積を求める。

点 $\text{D}$ と点 $\text{E}$ は $x$ 座標が等しいため、線分 $\text{DE}$ は $y$ 軸に平行であり、その長さは

$$ \text{DE} = \left| \frac{2}{3}y - \left(-\frac{2}{3}y\right) \right| = \frac{4}{3}|y| $$

底辺を $\text{DE}$ とすると、高さは点 $\text{B}$ と直線 $\text{DE}$（直線 $x = \frac{7}{3}$）との距離となる。

点 $\text{B}$ の $x$ 座標は $\frac{3}{2}$ であるから、高さは

$$ \left| \frac{3}{2} - \frac{7}{3} \right| = \left| \frac{9 - 14}{6} \right| = \frac{5}{6} $$

よって、三角形 $\text{BDE}$ の面積は

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}|y| \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{9}|y| $$

条件よりこの面積が $\frac{5}{9}$ であるから、

$$ \frac{5}{9}|y| = \frac{5}{9} \iff |y| = 1 \iff y^2 = 1 $$

したがって、

$$ |\vec{b}|^2 = x^2 + y^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4} $$

$|\vec{b}| > 0$ であるから、

$$ |\vec{b}| = \frac{\sqrt{13}}{2} $$

解説

ベクトルの図形への応用における標準的な問題である。点から直線への垂線は「内積が $0$」という条件を用いて立式するのが基本方針となる。(3) における三角形の面積計算では、(1) と (2) で誘導されているように、直線 $\text{OA}$ に垂直な線分（$\text{DE}$）を底辺にとり、$\text{OA}$ に平行な方向で高さを測ることで、計算量を大幅に減らすことができる。

また、解法2のように、ベクトルの内積や長さの条件から図形を座標平面上に配置して成分計算に持ち込む手法は、図形的な直感が働きやすく、計算ミスを防ぎやすいため非常に実用的である。