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京都大学 1978年理系第2問解説

方針・初手

（i）点 $P, G, Q$ が同一直線上にあるという条件をベクトルで表現する。$\overrightarrow{OG}$ を $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ を用いて表し、係数の和が $1$ になることを利用する。

（ii）三角形の面積比の性質から、$T = hkS$ であることを導く。（i）の関係式を用いて $k$ を消去し、$T$ を $h$ だけの式で表す。さらに、点 $P, Q$ がそれぞれ辺 $OA, OB$ 上にあるという図形的条件から $h$ のとりうる値の範囲を求め、その範囲における関数の最大値・最小値を調べる。

解法1

(i)

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とおく。点 $G$ は $\triangle OAB$ の重心であるから、

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} $$

条件より $\overrightarrow{OP} = h\vec{a}$, $\overrightarrow{OQ} = k\vec{b}$ である。直線は辺 $OA, OB$ と交わるので、$P, Q$ は $O$ とは異なる点であり、$h > 0, k > 0$ である。したがって、$\vec{a} = \frac{1}{h}\overrightarrow{OP}$, $\vec{b} = \frac{1}{k}\overrightarrow{OQ}$ と表せる。これを上の式に代入すると、

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3h}\overrightarrow{OP} + \frac{1}{3k}\overrightarrow{OQ} $$

点 $G$ は直線 $PQ$ 上にあるため、$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ の係数の和は $1$ になる。

$$ \frac{1}{3h} + \frac{1}{3k} = 1 $$

両辺を $3$ 倍して、

$$ \frac{1}{h} + \frac{1}{k} = 3 $$

が成り立つことが示された。

(ii)

$\triangle OAB$ と $\triangle OPQ$ は角 $O$ を共有しているため、面積比は挟む辺の長さの積の比となる。

$$ T = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OP}| |\overrightarrow{OQ}| \sin \angle AOB = \frac{1}{2} (h|\overrightarrow{OA}|) (k|\overrightarrow{OB}|) \sin \angle AOB = hk \cdot \left( \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \sin \angle AOB \right) = hkS $$

（i）の結果から $\frac{1}{k} = 3 - \frac{1}{h} = \frac{3h - 1}{h}$ となる。 $k > 0$ より $\frac{3h - 1}{h} > 0$ であり、$h > 0$ であるから $3h - 1 > 0$ すなわち $h > \frac{1}{3}$ である。このとき、

$$ k = \frac{h}{3h - 1} $$

これを $T = hkS$ に代入すると、

$$ T = h \cdot \frac{h}{3h - 1} S = \frac{h^2}{3h - 1} S $$

次に、$h$ のとりうる値の範囲を求める。点 $P, Q$ はそれぞれ辺 $OA, OB$ 上の点であるから、$0 < h \leqq 1$, $0 < k \leqq 1$ である。 $k \leqq 1$ に $k = \frac{h}{3h - 1}$ を代入すると、

$$ \frac{h}{3h - 1} \leqq 1 $$

$3h - 1 > 0$ であるから、両辺に $3h - 1$ を掛けて、

$$ h \leqq 3h - 1 $$

$$ 2h \geqq 1 \iff h \geqq \frac{1}{2} $$

これと $h \leqq 1$ を合わせると、$h$ の定義域は $\frac{1}{2} \leqq h \leqq 1$ となる。ここで、$f(h) = \frac{h^2}{3h - 1}$ とおき、この範囲における $f(h)$ の増減を調べる。商の微分公式を用いて $f(h)$ を微分すると、

$$ f'(h) = \frac{2h(3h - 1) - h^2 \cdot 3}{(3h - 1)^2} = \frac{6h^2 - 2h - 3h^2}{(3h - 1)^2} = \frac{3h^2 - 2h}{(3h - 1)^2} = \frac{h(3h - 2)}{(3h - 1)^2} $$

$f'(h) = 0$ となるのは、$h > 0$ の範囲では $h = \frac{2}{3}$ のときである。 $\frac{1}{2} \leqq h \leqq 1$ における $f(h)$ の増減を調べる。

$h = \frac{1}{2}$ のとき、$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1/4}{3/2 - 1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$

$h = \frac{2}{3}$ のとき、$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4/9}{2 - 1} = \frac{4}{9}$

$h = 1$ のとき、$f(1) = \frac{1}{3 - 1} = \frac{1}{2}$

したがって、$f(h)$ は $h = \frac{2}{3}$ で最小値 $\frac{4}{9}$ をとり、$h = \frac{1}{2}, 1$ で最大値 $\frac{1}{2}$ をとる。すなわち、$\frac{4}{9} \leqq f(h) \leqq \frac{1}{2}$ である。 $T = f(h)S$ より、$S > 0$ であるから各辺に $S$ を掛けて、

$$ \frac{4}{9}S \leqq T \leqq \frac{1}{2}S $$

が成り立つことが示された。

解法2

(ii)の別解（相加・相乗平均の関係の利用）

$T = \frac{h^2}{3h - 1} S$ を導き、$h$ の範囲が $\frac{1}{2} \leqq h \leqq 1$ であることを求めるまでは解法1と同様である。ここで、$3h - 1 = t$ とおくと、$h = \frac{t + 1}{3}$ である。 $h$ の範囲 $\frac{1}{2} \leqq h \leqq 1$ より、$t$ の範囲は $\frac{1}{2} \leqq t \leqq 2$ となる。 $f(h) = \frac{h^2}{3h - 1}$ を $t$ を用いて表すと、

$$ f(h) = \frac{\left(\frac{t + 1}{3}\right)^2}{t} = \frac{t^2 + 2t + 1}{9t} = \frac{1}{9} \left( t + 2 + \frac{1}{t} \right) $$

$t > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ t + \frac{1}{t} \geqq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2 $$

等号は $t = \frac{1}{t}$、すなわち $t = 1$（$h = \frac{2}{3}$ のときで、これは定義域内）のとき成立する。したがって、

$$ f(h) \geqq \frac{1}{9} (2 + 2) = \frac{4}{9} $$

となり、最小値 $\frac{4}{9}$ が得られる。また、$g(t) = t + \frac{1}{t}$ とおくと、相加・相乗平均の等号成立条件である $t=1$ を軸として、$t$ が $1$ から離れるほど値は大きくなる。定義域 $\frac{1}{2} \leqq t \leqq 2$ において、$t = \frac{1}{2}$ のときと $t = 2$ のときの値は等しく、ともに最大となる。

$g(2) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

このとき、$f(h)$ の最大値は

$$ \frac{1}{9} \left( \frac{5}{2} + 2 \right) = \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{2} = \frac{1}{2} $$

以上より、$\frac{4}{9} \leqq f(h) \leqq \frac{1}{2}$ であり、

$$ \frac{4}{9}S \leqq T \leqq \frac{1}{2}S $$

が成り立つ。

解説

ベクトルの共線条件（３点が同一直線上にある条件）と、それに伴う面積の最大・最小を問う典型的な融合問題である。（i）で用いる「始点を揃え、係数の和が $1$ になることを利用する」手法は、平面ベクトルの必須テクニックである。（ii）のように分数関数の最大・最小を求める際、理系であれば微分（商の微分公式）を用いてスムーズに処理できるが、文系範囲や計算を工夫したい場面では、解法2のように分母を丸ごと $1$ 文字で置換し、相加・相乗平均の大小関係に持ち込む手法が非常に有効である。また、$k \leqq 1$ という条件を見落とすと $h$ の範囲が正しく求まらず、最大値を出せなくなってしまうため、変数の定義域には常に注意を払う必要がある。