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北海道大学 2021年理系第2問解説

方針・初手

(1) については、導関数を用いて放物線上の $2$ 点における接線の方程式をそれぞれ立て、それらを連立方程式として解くことで交点の座標を求めます。

(2) については、求める値が線分の長さの比であるため、まずは $2$ 乗した値 $\frac{|AB|^2}{|BC|^2}$ を考えます。座標から直接長さを計算してもよいですが、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{BC}$ の成分を計算し、共通因数をくくり出してから大きさを求めると計算がスムーズです。得られた $a$ の分数関数の最小値を、相加平均と相乗平均の大小関係を利用して求めます。

解法1

(1)

$y = \frac{1}{2}x^2$ を $x$ について微分すると、以下のようになります。

$$ y' = x $$

点 $A\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ における接線 $l_1$ の傾きは $-1$ となるため、接線 $l_1$ の方程式は以下の通りです。

$$ y - \frac{1}{2} = -1 \cdot (x - (-1)) $$

$$ y = -x - \frac{1}{2} $$

点 $B\left(a+2, \frac{(a+2)^2}{2}\right)$ における接線 $l_2$ の傾きは $a+2$ となるため、接線 $l_2$ の方程式は以下の通りです。

$$ y - \frac{(a+2)^2}{2} = (a+2) \{ x - (a+2) \} $$

$$ y = (a+2)x - (a+2)^2 + \frac{(a+2)^2}{2} $$

$$ y = (a+2)x - \frac{(a+2)^2}{2} $$

交点 $C$ の $x$ 座標は、$l_1$ と $l_2$ の式を連立して求めます。

$$ -x - \frac{1}{2} = (a+2)x - \frac{(a+2)^2}{2} $$

$$ (a+3)x = \frac{(a+2)^2 - 1}{2} $$

$$ (a+3)x = \frac{(a+2+1)(a+2-1)}{2} $$

$$ (a+3)x = \frac{(a+3)(a+1)}{2} $$

条件より $a \neq -3$ であるため $a+3 \neq 0$ となり、両辺を $a+3$ で割ることができます。

$$ x = \frac{a+1}{2} $$

これを $l_1$ の式に代入して $y$ 座標を求めます。

$$ y = -\frac{a+1}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{a+2}{2} $$

したがって、交点 $C$ の座標は以下のようになります。

$$ C \left( \frac{a+1}{2}, -\frac{a+2}{2} \right) $$

(2)

$A\left(-1, \frac{1}{2}\right)$、$B\left(a+2, \frac{(a+2)^2}{2}\right)$、$C\left( \frac{a+1}{2}, -\frac{a+2}{2} \right)$ について、ベクトル $\vec{BC}$ と $\vec{AB}$ の成分を計算します。

$$ \begin{aligned} \vec{BC} &= \left( \frac{a+1}{2} - (a+2), -\frac{a+2}{2} - \frac{(a+2)^2}{2} \right) \\ &= \left( \frac{-a-3}{2}, \frac{-(a+2) - (a+2)^2}{2} \right) \\ &= \left( -\frac{a+3}{2}, -\frac{(a+2)\{1 + (a+2)\}}{2} \right) \\ &= \left( -\frac{a+3}{2}, -\frac{(a+2)(a+3)}{2} \right) \\ &= -\frac{a+3}{2} (1, a+2) \end{aligned} $$

これより、線分 $BC$ の長さの $2$ 乗は以下のようになります。

$$ |BC|^2 = \frac{(a+3)^2}{4} \{ 1^2 + (a+2)^2 \} = \frac{(a+3)^2}{4} (a^2 + 4a + 5) $$

同様に、ベクトル $\vec{AB}$ の成分を計算します。

$$ \begin{aligned} \vec{AB} &= \left( a+2 - (-1), \frac{(a+2)^2}{2} - \frac{1}{2} \right) \\ &= \left( a+3, \frac{(a+2)^2 - 1}{2} \right) \\ &= \left( a+3, \frac{(a+3)(a+1)}{2} \right) \\ &= \frac{a+3}{2} (2, a+1) \end{aligned} $$

これより、線分 $AB$ の長さの $2$ 乗は以下のようになります。

$$ |AB|^2 = \frac{(a+3)^2}{4} \{ 2^2 + (a+1)^2 \} = \frac{(a+3)^2}{4} (a^2 + 2a + 5) $$

$a > 0$ より $a \neq -3$ であるため $\frac{(a+3)^2}{4} \neq 0$ であり、求める比の $2$ 乗は次のように表せます。

$$ \frac{|AB|^2}{|BC|^2} = \frac{\frac{(a+3)^2}{4} (a^2 + 2a + 5)}{\frac{(a+3)^2}{4} (a^2 + 4a + 5)} = \frac{a^2 + 2a + 5}{a^2 + 4a + 5} $$

この式を $f(a)$ とおき、式変形を行います。

$$ f(a) = \frac{(a^2 + 4a + 5) - 2a}{a^2 + 4a + 5} = 1 - \frac{2a}{a^2 + 4a + 5} $$

$a > 0$ であるため、$f(a)$ が最小となるのは $\frac{2a}{a^2 + 4a + 5}$ が最大となるときです。分母・分子を $a (>0)$ で割ると、以下のようになります。

$$ \frac{2a}{a^2 + 4a + 5} = \frac{2}{a + \frac{5}{a} + 4} $$

$a > 0, \frac{5}{a} > 0$ であるため、分母の $a + \frac{5}{a}$ に対して相加平均と相乗平均の大小関係を用いると、以下の不等式が成り立ちます。

$$ a + \frac{5}{a} \geqq 2\sqrt{a \cdot \frac{5}{a}} = 2\sqrt{5} $$

等号が成立するのは $a = \frac{5}{a}$ のとき、すなわち $a^2 = 5$ のときです。$a > 0$ より $a = \sqrt{5}$ となります。

したがって、$a = \sqrt{5}$ のとき分母 $a + \frac{5}{a} + 4$ は最小値 $2\sqrt{5} + 4$ をとり、その結果として $\frac{2a}{a^2 + 4a + 5}$ は最大となり、$f(a)$ は最小となります。

$\frac{|AB|}{|BC|} > 0$ であるため、$2$ 乗した値が最小となるとき、もとの値 $\frac{|AB|}{|BC|}$ も最小となります。よって、最小となる $a$ の値は $\sqrt{5}$ です。

解法2

(2) において、微分を用いて関数の最小値を求める方法

解法1と同様にして、比の $2$ 乗を表す関数 $g(a)$ を以下のように定めます。

$$ g(a) = \frac{a^2 + 2a + 5}{a^2 + 4a + 5} \quad (a > 0) $$

この関数を $a$ について微分します。

$$ \begin{aligned} g'(a) &= \frac{(2a+2)(a^2+4a+5) - (a^2+2a+5)(2a+4)}{(a^2+4a+5)^2} \\ &= \frac{2(a+1)(a^2+4a+5) - 2(a+2)(a^2+2a+5)}{(a^2+4a+5)^2} \\ &= \frac{2 \{ (a^3+5a^2+9a+5) - (a^3+4a^2+9a+10) \}}{(a^2+4a+5)^2} \\ &= \frac{2(a^2 - 5)}{(a^2+4a+5)^2} \end{aligned} $$

$g'(a) = 0$ となる $a$ の値は $a^2 - 5 = 0$ より $a = \pm\sqrt{5}$ です。$a > 0$ における増減を調べると以下のようになります。

$0 < a < \sqrt{5}$ のとき、$a^2 - 5 < 0$ より $g'(a) < 0$ となり、$g(a)$ は単調減少します。
$a = \sqrt{5}$ のとき、$g'(a) = 0$ となります。
$a > \sqrt{5}$ のとき、$a^2 - 5 > 0$ より $g'(a) > 0$ となり、$g(a)$ は単調増加します。

したがって、$g(a)$ は $a = \sqrt{5}$ で極小かつ最小となります。求めるのは $\frac{|AB|}{|BC|}$ が最小となるときの $a$ の値であるため、答えは $a = \sqrt{5}$ となります。

解説

(1) は放物線の接線に関する基本的な計算問題です。接点における微分係数が傾きとなることを利用して直線の方程式を立て、交点を求めます。なお、放物線 $y=kx^2$ 上の $2$ 点における接線の交点の $x$ 座標は、それぞれの接点の $x$ 座標の相加平均（中点）になるという性質を知っていると、計算ミスの確認に役立ちます。

(2) は $2$ 点間の距離を扱う問題ですが、座標からそのまま距離の公式を適用すると根号や複雑な多項式が現れ、計算が煩雑になりがちです。ベクトルを考え、因数分解により成分の共通因数（今回は $\frac{a+3}{2}$）をくくり出してから大きさを計算することで、大幅に計算量を減らすことができます。また、分数関数の最大・最小を求めるにあたり、「分子の次数を分母より下げる（割り算）」「分母・分子を変数で割って相加平均・相乗平均の大小関係に持ち込む」という式変形は頻出の定石ですので、確実に押さえておきましょう。微分を利用する解法2も確実な方法であり、計算力が問われます。