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北海道大学 2023年理系第4問解説

譁ｹ驥昴・蛻晄焔

邨ｶ蟇ｾ蛟､縺ｮ蜥後ｒ隧穂ｾ｡縺吶ｋ縺溘ａ縺ｫ縲∽ｸ芽ｧ剃ｸ咲ｭ牙ｼ・$|x| + |y| \ge |x+y|$ 繧呈ｴｻ逕ｨ縺吶ｋ縲ゅ％縺ｮ荳咲ｭ牙ｼ上↓縺翫＞縺ｦ遲牙捷縺梧・遶九☆繧区擅莉ｶ縺・$xy \ge 0$・医☆縺ｪ繧上■ $x$ 縺ｨ $y$ 縺悟酔隨ｦ蜿ｷ縺ｾ縺溘・荳譁ｹ縺・$0$・峨〒縺ゅｋ縺薙→繧堤畑縺・※縲・K_n$ 縺ｮ譛蟆丞､縺ｨ縺昴・縺ｨ縺阪・ $a_k$ 縺ｮ譚｡莉ｶ繧呈ｱゅａ繧九・

隗｣豕・

(1)

荳闊ｬ縺ｫ縲∝ｮ滓焚 $x, y$ 縺ｫ蟇ｾ縺励※荳芽ｧ剃ｸ咲ｭ牙ｼ・$|x| + |y| \ge |x+y|$ 縺梧・繧顔ｫ九■縲∫ｭ牙捷縺ｯ $xy \ge 0$ 縺ｮ縺ｨ縺阪↓謌千ｫ九☆繧九ゅ％繧後ｒ諡｡蠑ｵ縺吶ｋ縺ｨ縲∬､・焚縺ｮ螳滓焚 $x_1, x_2, \cdots, x_m$ 縺ｫ蟇ｾ縺励※

$$|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_m| \ge |x_1 + x_2 + \cdots + x_m|$$

縺梧・繧顔ｫ九■縲∫ｭ牙捷縺ｯ縺吶∋縺ｦ縺ｮ $x_i$ 縺悟酔隨ｦ蜿ｷ縺ｾ縺溘・ $0$ 縺ｧ縺ゅｋ縺ｨ縺阪↓謌千ｫ九☆繧九・

$K_3$ 縺ｫ蟇ｾ縺励※縺薙・髢｢菫ょｼ上ｒ驕ｩ逕ｨ縺吶ｋ縺ｨ縲・

$$K_3 = |1 - a_1| + |a_1 - a_2| + |a_2 - a_3| + |a_3 - 6|$$

$$\ge |(1 - a_1) + (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + (a_3 - 6)|$$

$$= |-5| = 5$$

縺ｨ縺ｪ繧九ゅ％縺薙〒 $(1 - a_1) + (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + (a_3 - 6) = -5 < 0$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲∫ｭ牙捷縺梧・遶九☆繧九◆繧√・蠢・ｦ∝香蛻・擅莉ｶ縺ｯ縲∝推鬆・′縺吶∋縺ｦ $0$ 莉･荳九〒縺ゅｋ縺薙→縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺吶↑繧上■縲・

$$1 - a_1 \le 0 \quad \text{縺九▽} \quad a_1 - a_2 \le 0 \quad \text{縺九▽} \quad a_2 - a_3 \le 0 \quad \text{縺九▽} \quad a_3 - 6 \le 0$$

縺薙ｌ繧呈紛逅・☆繧九→縲・

$$1 \le a_1 \le a_2 \le a_3 \le 6$$

縺ｨ縺ｪ繧九・

縺励◆縺後▲縺ｦ縲・K_3 = 5$ 縺ｨ縺ｪ繧狗｢ｺ邇・・縲√％縺ｮ譚｡莉ｶ繧呈ｺ縺溘☆謨ｴ謨ｰ縺ｮ邨・$(a_1, a_2, a_3)$ 縺ｮ邱乗焚繧呈ｱゅａ繧後・繧医＞縲ゅ％繧後・ $1$ 縺九ｉ $6$ 縺ｾ縺ｧ縺ｮ $6$ 蛟九・謨ｴ謨ｰ縺九ｉ驥崎､・ｒ險ｱ縺励※ $3$ 蛟矩∈縺ｶ驥崎､・ｵ・粋縺帙・邱乗焚縺ｫ遲峨＠縺・◆繧√・

$${}_6\mathrm{H}_3 = {}_{6+3-1}\mathrm{C}_{3} = {}_8\mathrm{C}_{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \text{ 騾壹ｊ}$$

縺輔＞縺薙ｍ繧・$3$ 蝗樊兜縺偵ｋ縺ｨ縺阪・逶ｮ縺ｮ蜃ｺ譁ｹ縺ｯ蜈ｨ菴薙〒 $6^3 = 216$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲∵ｱゅａ繧狗｢ｺ邇・・

$$\frac{56}{216} = \frac{7}{27}$$

縺ｧ縺ゅｋ縲・

(2)

(1) 縺ｨ蜷梧ｧ倥↓縺励※縲・K_n$ 縺ｫ蟇ｾ縺励※荳芽ｧ剃ｸ咲ｭ牙ｼ上ｒ驕ｩ逕ｨ縺吶ｋ縲・

$$K_n = |1 - a_1| + |a_1 - a_2| + \cdots + |a_n - 6|$$

$$\ge |(1 - a_1) + (a_1 - a_2) + \cdots + (a_n - 6)|$$

$$= |-5| = 5$$

遲牙捷縺梧・遶九☆繧九◆繧√・蠢・ｦ∝香蛻・擅莉ｶ縺ｯ縲∝推鬆・′縺吶∋縺ｦ $0$ 莉･荳九〒縺ゅｋ縺薙→縲√☆縺ｪ繧上■

$$1 \le a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n \le 6$$

縺ｧ縺ゅｋ縲ゅ％縺ｮ繧医≧縺ｪ邨・$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 縺ｯ蟄伜惠縺吶ｋ・井ｾ九∴縺ｰ縺吶∋縺ｦ $1$ 縺ｮ縺ｨ縺搾ｼ峨◆繧√・K_n$ 縺ｮ譛蟆丞､ $q_n$ 縺ｯ $5$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺ｾ縺溘・K_n = q_n$・医☆縺ｪ繧上■ $K_n = 5$・峨→縺ｪ繧九◆繧√・蠢・ｦ∝香蛻・擅莉ｶ縺ｯ縲・

$$1 \le a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n \le 6$$

縺ｧ縺ゅｋ縲・

(3)

$L_n = K_n + |a_4 - 4|$ 縺ｫ縺､縺・※閠・∴繧九・

$K_n \ge 5$ 縺ｧ縺ゅｊ縲√∪縺溷ｸｸ縺ｫ $|a_4 - 4| \ge 0$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・

$$L_n \ge 5 + 0 = 5$$

縺ｨ縺ｪ繧九ゅ％縺薙〒 $L_n = 5$ 縺ｨ縺ｪ繧九・縺ｯ縲・K_n = 5$ 縺九▽ $|a_4 - 4| = 0$ 縺ｮ縺ｨ縺阪〒縺ゅｋ縲・

縺薙ｌ繧呈ｺ縺溘☆譚｡莉ｶ縺ｯ縲・2) 縺ｮ邨先棡繧医ｊ

$$1 \le a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n \le 6 \quad \text{縺九▽} \quad a_4 = 4$$

縺ｧ縺ゅｋ縲ゅ％繧後ｒ貅縺溘☆謨ｰ蛻励・邨・・蟄伜惠縺吶ｋ縺溘ａ縲・L_n$ 縺ｮ譛蟆丞､ $r_n$ 縺ｯ $5$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺励◆縺後▲縺ｦ縲・L_n = r_n$・医☆縺ｪ繧上■ $L_n = 5$・峨→縺ｪ繧九・縺ｯ縲∽ｻ･荳九・譚｡莉ｶ繧偵☆縺ｹ縺ｦ貅縺溘☆縺ｨ縺阪〒縺ゅｋ縲・

$$1 \le a_1 \le a_2 \le a_3 \le 4$$

$$a_4 = 4$$

$$4 \le a_5 \le a_6 \le \cdots \le a_n \le 6$$

縺薙・譚｡莉ｶ繧呈ｺ縺溘☆邨・$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 縺ｮ邱乗焚繧呈ｱゅａ繧九・

縺ｾ縺壹・a_1, a_2, a_3$ 縺ｮ驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺ｯ縲・1, 2, 3, 4$ 縺ｮ $4$ 蛟九・謨ｴ謨ｰ縺九ｉ驥崎､・ｒ險ｱ縺励※ $3$ 蛟矩∈縺ｶ驥崎､・ｵ・粋縺帙・邱乗焚縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・

$${}_4\mathrm{H}_3 = {}_{4+3-1}\mathrm{C}_{3} = {}_6\mathrm{C}_{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \text{ 騾壹ｊ}$$

谺｡縺ｫ縲・a_4$ 縺ｯ $4$ 縺ｮ $1$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺昴＠縺ｦ $n \ge 5$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・a_5, a_6, \cdots, a_n$ 縺ｮ驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺ｯ縲・4, 5, 6$ 縺ｮ $3$ 蛟九・謨ｴ謨ｰ縺九ｉ驥崎､・ｒ險ｱ縺励※ $(n-4)$ 蛟矩∈縺ｶ驥崎､・ｵ・粋縺帙・邱乗焚縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・

$${}_3\mathrm{H}_{n-4} = {}_{3+(n-4)-1}\mathrm{C}_{n-4} = {}_{n-2}\mathrm{C}_{n-4} = {}_{n-2}\mathrm{C}_{2} = \frac{(n-2)(n-3)}{2} \text{ 騾壹ｊ}$$

$n=4$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・縲∝ｾ悟濠縺ｮ謨ｰ蛻励′蟄伜惠縺帙★縲・a_4 = 4$ 縺ｧ遒ｺ螳壹☆繧九◆繧√・1$ 騾壹ｊ縺ｨ縺励※謇ｱ縺・ゅ％繧後・荳願ｨ倥・蠑上↓ $n=4$ 繧剃ｻ｣蜈･縺励◆ $\frac{2 \cdot 1}{2} = 1$ 縺ｨ荳閾ｴ縺吶ｋ縺溘ａ縲・n \ge 4$ 縺ｫ蟇ｾ縺励※荳縺､縺ｮ蠑上〒陦ｨ縺吶％縺ｨ縺後〒縺阪ｋ縲・

繧医▲縺ｦ縲・L_n = 5$ 縺ｨ縺ｪ繧狗岼縺ｮ蜃ｺ譁ｹ縺ｮ邱乗焚縺ｯ

$$20 \times 1 \times \frac{(n-2)(n-3)}{2} = 10(n-2)(n-3) \text{ 騾壹ｊ}$$

縺輔＞縺薙ｍ繧・$n$ 蝗樊兜縺偵ｋ縺ｨ縺阪・逶ｮ縺ｮ蜃ｺ譁ｹ縺ｯ蜈ｨ菴薙〒 $6^n$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲∵ｱゅａ繧狗｢ｺ邇・$p_n$ 縺ｯ

$$p_n = \frac{10(n-2)(n-3)}{6^n}$$

縺ｧ縺ゅｋ縲・

隗｣隱ｬ

邨ｶ蟇ｾ蛟､縺ｮ蜥後・譛蟆丞､繧定・∴繧矩圀縺ｮ蜈ｸ蝙狗噪縺ｪ繧｢繝励Ο繝ｼ繝√〒縺ゅｋ荳芽ｧ剃ｸ咲ｭ牙ｼ上・蛻ｩ逕ｨ繧貞撫縺・撫鬘後〒縺ゅｋ縲よ焚逶ｴ邱壻ｸ翫・霍晞屬縺ｮ蜥後→謐峨∴縲√梧釜繧願ｿ斐＠縺ｪ縺丈ｸ逶ｴ邱壹↓騾ｲ繧縺ｨ縺崎ｷ晞屬縺ｮ蜥後′譛遏ｭ縺ｫ縺ｪ繧九阪→縺・≧逶ｴ諢溽噪縺ｪ逅・ｧ｣繧呈戟縺｣縺ｦ縺翫￥縺ｨ譁ｹ驥昴′遶九■繧・☆縺・・3) 縺ｧ縺ｯ驥崎､・ｵ・粋縺帙・險育ｮ励ｒ蜑榊濠縺ｨ蠕悟濠縺ｫ蛻・￠縺ｦ陦後＞縲∽ｸ闊ｬ鬆・ｒ蟆弱￥蜉帙′豎ゅａ繧峨ｌ繧九・n=4$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・謇ｱ縺・↓縺､縺・※縲∝ｰ主・縺励◆蠑上′萓句､悶↑縺乗・遶九☆繧九°遒ｺ隱阪☆繧九せ繝・ャ繝励ｒ雕上・縺ｨ隲也炊逧・↑髫吶′縺ｪ縺上↑繧九・