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北海道大学 2023年理系第3問解説

方針・初手

関数 $f(x) = xe^{-x}$ の導関数を求めて増減や極限を調べ、グラフの概形を把握することがすべての基本となる。 (2) と (3) は、与えられた等式を $f(x)f(y) = c$ の形に変形し、$f(x)$ の取りうる値の範囲とグラフの形状を利用して、条件を満たす $x, y$ の組や $y$ の最大値を論理的に絞り込んでいく。

解法1

(1)

$f(x) = xe^{-x}$ を $x$ について微分する。

$$ f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = (1-x)e^{-x} $$

$e^{-x} > 0$ であるから、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のときである。 $x < 1$ のとき $f'(x) > 0$ であり、$f(x)$ は単調増加する。 $x > 1$ のとき $f'(x) < 0$ であり、$f(x)$ は単調減少する。極大値は $f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$ である。

また、$x \to -\infty$ のときの極限を調べる。

$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x e^{-x} = -\infty $$

問題文より、正の無限大への極限は以下のように与えられている。

$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 $$

よって、$y = f(x)$ のグラフは $x=1$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとり、$x \to \infty$ で $x$ 軸に上から漸近する形となる。方程式 $f(x) = k$ の異なる実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと水平な直線 $y = k$ の共有点の個数に等しいため、以下のようになる。

$k > \frac{1}{e}$ のとき、0個 $k = \frac{1}{e}$ または $k \leqq 0$ のとき、1個 $0 < k < \frac{1}{e}$ のとき、2個

(2)

与式 $xye^{-(x+y)} = c$ は以下のように変形できる。

$$ xe^{-x} \cdot ye^{-y} = c $$

すなわち、関数 $f$ を用いて次のように表せる。

$$ f(x)f(y) = c $$

$x > 0$ であるから、(1)で調べたグラフの概形より $0 < f(x) \leqq \frac{1}{e}$ である。$y > 0$ についても同様に $0 < f(y) \leqq \frac{1}{e}$ となる。 $f(x)$ の値域 $0 < v \leqq \frac{1}{e}$ において、$f(x) = v$ を満たす正の実数 $x$ の個数は以下の通りである。

$v = \frac{1}{e}$ のとき、$x = 1$ の1個のみ $0 < v < \frac{1}{e}$ のとき、2個

したがって、ある実数 $c$ に対して $f(x)f(y) = c$ を満たす正の実数 $x, y$ の組がただ1つ存在するための条件は、$f(x)$ と $f(y)$ がともにただ1つの実数を与える値、すなわち極大値をとることである。（もし一方が $0 < v < \frac{1}{e}$ の値をとると、対応する変数が異なる2つの正の実数値をとるため、組 $(x, y)$ が複数存在してしまう）

ゆえに、$f(x) = \frac{1}{e}$ かつ $f(y) = \frac{1}{e}$ でなければならず、$x = 1$ かつ $y = 1$ と一意に定まる。このときの $c$ の値は以下のようになる。

$$ c = f(1)f(1) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e^2} $$

(3)

与式は (2) と同様に以下のように表せる。

$$ f(x)f(y) = \frac{3}{e^4} $$

$x > 0$ より $f(x) \leqq \frac{1}{e}$ であるから、両辺を正の値 $f(x)$ で割り、不等式を立てる。

$$ f(y) = \frac{3}{e^4 f(x)} \geqq \frac{3}{e^4 \cdot \frac{1}{e}} = \frac{3}{e^3} $$

ここで、$f(y) = \frac{3}{e^3}$ を満たす正の実数 $y$ について考える。 $f(3) = 3e^{-3} = \frac{3}{e^3}$ であるから、$y=3$ は解の1つである。 (1)のグラフの概形より、$y \geqq 1$ の範囲において $f(y)$ は単調減少し、$\lim_{y \to \infty} f(y) = 0$ である。極大値について $\frac{3}{e^3} < \frac{1}{e}$ であるため、不等式 $f(y) \geqq \frac{3}{e^3}$ を満たす $y$ の範囲のうち、$y \geqq 1$ に含まれる部分は $1 \leqq y \leqq 3$ となる。（$0 < y < 1$ の範囲にも $f(y) \geqq \frac{3}{e^3}$ を満たす区間が存在するが、いま $y$ の最大値を求めているため、上限は $y \leqq 3$ から定まる $3$ である）

したがって、$y$ のとりうる値の最大値は $3$ である。最大値 $y=3$ をとるとき、不等式 $f(y) \geqq \frac{3}{e^3}$ において等号が成立しているため、$f(x) = \frac{1}{e}$ でなければならない。 $x > 0$ の範囲で $f(x) = \frac{1}{e}$ を満たすのは $x = 1$ のみである。

解説

$f(x) = x e^{-x}$ は微分積分の問題で極めて頻出する関数であり、グラフの概形を正確に描けることが前提となる。 (2) は、2変数関数を $f(x)$ と $f(y)$ の独立した積に分離し、「解の組がただ1つ」という条件から各々が極大値をとるしかない状況を論理的に導く問題である。 (3) は、片方の変数の最大値（$f(x) \leqq \frac{1}{e}$）を利用して、もう片方の変数の関数の最小値（$f(y) \geqq \frac{3}{e^3}$）を絞り込む手法が有効である。具体的な値として $y=3$ を代入した結果に気づけるかが完答の鍵となる。