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東京工業大学 2020年理系第5問解説

方針・初手

数列の一般項が積分で定義されている問題である。（1）では部分積分を2回繰り返すことで漸化式を導く。（2）では被積分関数の評価から不等式を作り、はさみうちの原理を用いて極限を求める。（3）と（4）は、（1）で得られた漸化式を繰り返し用いることで数列 $k a_k$ の漸近展開を行い、極限が有限確定値になるように多項式の次数を決定していく。

解法1

(1)

部分積分を2回行う。

$$ \begin{aligned} a_{k+2} &= \int_0^1 x^{k+1} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) dx \\ &= \left[ x^{k+1} \left( -\frac{2}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right) \right]_0^1 - \int_0^1 (k+1) x^k \left( -\frac{2}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right) dx \\ &= \frac{2(k+1)}{\pi} \int_0^1 x^k \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) dx \\ &= \frac{2(k+1)}{\pi} \left( \left[ x^k \left( \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right) \right]_0^1 - \int_0^1 k x^{k-1} \left( \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right) dx \right) \\ &= \frac{2(k+1)}{\pi} \left( \frac{2}{\pi} - \frac{2k}{\pi} \int_0^1 x^{k-1} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) dx \right) \\ &= \frac{4(k+1)}{\pi^2} - \frac{4k(k+1)}{\pi^2} a_k \end{aligned} $$

これを $a_{k+2}$ について整理したものが答えとなる。

$$ a_{k+2} = \frac{4(k+1)}{\pi^2} (1 - k a_k) $$

(2)

積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において $0 \leqq \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \leqq 1$ であるから、

$$ 0 \leqq x^{k+1} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \leqq x^{k+1} $$

両辺を $0$ から $1$ まで積分すると、

$$ 0 \leqq \int_0^1 x^{k+1} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) dx \leqq \int_0^1 x^{k+1} dx $$

$$ 0 \leqq a_{k+2} \leqq \left[ \frac{x^{k+2}}{k+2} \right]_0^1 = \frac{1}{k+2} $$

（1）の漸化式を変形すると、

$$ k a_k = 1 - \frac{\pi^2}{4(k+1)} a_{k+2} $$

ここで、上の不等式より、

$$ 0 \leqq \frac{\pi^2}{4(k+1)} a_{k+2} \leqq \frac{\pi^2}{4(k+1)(k+2)} $$

$k \to \infty$ のとき右辺は $0$ に収束するため、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{k\to\infty} \frac{\pi^2}{4(k+1)} a_{k+2} = 0 $$

よって、

$$ A = \lim_{k\to\infty} k a_k = 1 - 0 = 1 $$

(3)

与えられた数列を $A=1$ として変形し、（1）で得た $k a_k$ の式を代入する。

$$ k^m a_k - k^n A = k^{m-1} (k a_k) - k^n = k^{m-1} - k^n - \frac{\pi^2}{4} \frac{k^{m-1}}{k+1} a_{k+2} $$

これが $0$ ではない有限値に収束するためには、発散する項である $k^{m-1} - k^n$ が $0$ にならなければならない。したがって $m-1 = n$ 、すなわち $m = n+1$ が必要である。このとき、

$$ k^{n+1} a_k - k^n = -\frac{\pi^2}{4} \frac{k^n}{k+1} a_{k+2} = -\frac{\pi^2}{4} \frac{k^{n-1}}{k+1} (k a_{k+2}) $$

ここで、（2）の結果から任意の数列 $k a_k$ について極限が $1$ になるため、

$$ \lim_{k\to\infty} k a_{k+2} = \lim_{k\to\infty} \frac{k}{k+2} \cdot (k+2) a_{k+2} = 1 \cdot 1 = 1 $$

ゆえに、

$$ \lim_{k\to\infty} \left( k^{n+1} a_k - k^n \right) = \lim_{k\to\infty} \left( -\frac{\pi^2}{4} \frac{k^{n-1}}{k+1} \right) \cdot 1 $$

これが $0$ ではない有限確定値に収束するには、$\frac{k^{n-1}}{k+1}$ の分母と分子の次数が等しくなる必要がある。よって $n-1 = 1$ より $n = 2$ 。このとき $m = 3$ となり、$m > n \geqq 1$ を満たす。またそのときの極限値 $B$ は、

$$ B = -\frac{\pi^2}{4} \lim_{k\to\infty} \frac{k}{k+1} = -\frac{\pi^2}{4} $$

(4)

（1）の漸化式は $a_{k+2} = \frac{1}{k+2} \left( 1 - \frac{\pi^2}{4(k+3)} a_{k+4} \right)$ とも表せる。これを $k a_k$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} k a_k &= 1 - \frac{\pi^2}{4(k+1)} \left\{ \frac{1}{k+2} \left( 1 - \frac{\pi^2}{4(k+3)} a_{k+4} \right) \right\} \\ &= 1 - \frac{\pi^2}{4(k+1)(k+2)} + \frac{\pi^4}{16(k+1)(k+2)(k+3)} a_{k+4} \end{aligned} $$

これを用いて、与えられた数列 $C_k = k^p a_k - k^q A - k^r B$ を変形する。$A=1, B=-\frac{\pi^2}{4}$ より、

$$ \begin{aligned} C_k &= k^{p-1} (k a_k) - k^q + \frac{\pi^2}{4} k^r \\ &= k^{p-1} - k^q - \frac{\pi^2}{4} \frac{k^{p-1}}{(k+1)(k+2)} + \frac{\pi^2}{4} k^r + \frac{\pi^4 k^{p-1}}{16(k+1)(k+2)(k+3)} a_{k+4} \end{aligned} $$

（3）と同様に、発散を防ぐために $k^{p-1} - k^q = 0$ すなわち $p = q+1$ でなければならない。このとき、

$$ \begin{aligned} C_k &= \frac{\pi^2}{4} \left( k^r - \frac{k^q}{(k+1)(k+2)} \right) + \frac{\pi^4 k^{q-1}}{16(k+1)(k+2)(k+3)} (k a_{k+4}) \\ &= \frac{\pi^2}{4} \frac{k^r(k^2+3k+2) - k^q}{k^2+3k+2} + \frac{\pi^4 k^{q-1}}{16(k+1)(k+2)(k+3)} (k a_{k+4}) \end{aligned} $$

右辺第1項の分数式の分子を展開すると $k^{r+2} + 3k^{r+1} + 2k^r - k^q$ となる。これが $0$ 以外の極限値を持つためには、最高次数の項が相殺し、かつ残った項の次数が分母の次数 $2$ と一致しなければならない。したがって、$r+2 = q$ かつ $r+1 = 2$ が必要である。 $r+1 = 2$ より $r = 1$ 。このとき $q = r+2 = 3$ 、$p = q+1 = 4$ となり、$p > q > r \geqq 1$ を満たす。

$(p, q, r) = (4, 3, 1)$ のとき、右辺第1項の極限は、

$$ \lim_{k\to\infty} \frac{\pi^2}{4} \frac{k^1(k^2+3k+2) - k^3}{k^2+3k+2} = \lim_{k\to\infty} \frac{\pi^2}{4} \frac{3k^2+2k}{k^2+3k+2} = \frac{3\pi^2}{4} $$

右辺第2項については、（3）と同様に $\lim_{k\to\infty} k a_{k+4} = 1$ であり、

$$ \lim_{k\to\infty} \frac{\pi^4 k^2}{16(k+1)(k+2)(k+3)} \cdot (k a_{k+4}) = 0 \cdot 1 = 0 $$

よって、求める極限値は $\frac{3\pi^2}{4}$ となる。

解説

積分で定義された数列の漸近展開の構造を問う、非常に教育的かつ高度な問題である。（1）と（2）は部分積分とはさみうちの原理を利用する標準的な手法だが、（3）と（4）では、漸化式を繰り返し適用することで $k a_k = 1 - \frac{\pi^2}{4 k^2} + \frac{3\pi^2}{4 k^3} + \cdots$ という漸近展開（マクローリン展開の類似）を自ら構成していく力が求められる。高次の極限を考える際に、低次の項が完全に相殺されるように $m, n$ や $p, q, r$ を決定していく論理構造を正確に記述できるかがポイントになる。