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京都大学 1968年文系第3問解説

方針・初手

集合 $S = \{ x \mid m \leqq x \leqq l \}$ が条件「$x \in S \implies x^2 \in S$」を満たすとき、この条件は関数 $f(x) = x^2$ による $S$ の像 $f(S)$ が $S$ の部分集合であること（$f(S) \subset S$）を意味する。

各小問において、$x^2$ の値域が $m \leqq x^2 \leqq l$ に収まるための $l, m$ の条件を、端点の動きに注目して導く。

解法1

(1) 条件より、$l \in S$ であるから、$l^2 \in S$ でなければならない。したがって、$m \leqq l^2 \leqq l$ が成り立つ。 $l^2 \leqq l$ より、$l(l - 1) \leqq 0$ であるから、$0 \leqq l \leqq 1$ である。

(2) 条件より、$m \in S$ であるから、$m^2 \in S$ でなければならない。したがって、$m \leqq m^2 \leqq l$ が成り立つ。 $m \leqq m^2$ より、$m^2 - m \geqq 0$、すなわち $m(m - 1) \geqq 0$ である。これを解くと、$m \leqq 0$ または $m \geqq 1$ となる。一方、問題の前提条件より $m \leqq l$ であり、(1)より $l \leqq 1$ であるから、$m \leqq 1$ である。以上より、$m = 1$ または $m \leqq 0$ である。

(3) $m = 1$ のとき、(1)の結果 $0 \leqq l \leqq 1$ および前提 $m \leqq l$ より、 $1 \leqq l \leqq 1$ となり、$l = 1$ である。このとき、集合 $S$ は $1 \leqq x \leqq 1$ を満たす実数の集合であるから、 $S = \{ 1 \}$ である。（確認：$x=1 \in S$ ならば $x^2=1 \in S$ となり、条件を満たす）

(4) $m \neq 1$ かつ $m \leqq 1$ より、(2)の結果から $m \leqq 0$ である。このとき、$x \in [m, l]$ における $x^2$ の値域（像 $f(S)$）を考える。 $m \leqq 0 \leqq l$ であるから、 $x^2$ の最小値は $0$、最大値は $\max(m^2, l^2)$ である。条件 $f(S) \subset S$ より、

$$ m \leqq 0 \quad \text{かつ} \quad \max(m^2, l^2) \leqq l $$

が成り立つ必要がある。 $m \leqq 0$ は既に得られている。 $\max(m^2, l^2) \leqq l$ は、以下の連立不等式と同値である。

$$ \begin{cases} m^2 \leqq l \\ l^2 \leqq l \end{cases} $$

(1)より $0 \leqq l \leqq 1$ のとき $l^2 \leqq l$ は常に成り立つ。よって、$m^2 \leqq l$ かつ $m \leqq 0$ を解けばよい。 $m^2 \leqq l$ より $-\sqrt{l} \leqq m \leqq \sqrt{l}$ である。これと $m \leqq 0$ の共通範囲をとると、 $-\sqrt{l} \leqq m \leqq 0$ となる。

解説

この問題は、写像による集合の安定性（自己準同型的な性質）を閉区間に対して適用するものである。

特に (4) において、$m \leqq 0 \leqq l$ という状況では、$x^2$ の最小値が $m$ ではなく $0$ になる点に注意が必要である。「$x \in S \implies x^2 \in S$」という条件を「$S$ の最小値 $\leqq x^2$ の最小値」かつ「$x^2$ の最大値 $\leqq S$ の最大値」と言い換えることで、端点の比較に帰着させることができる。