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京都大学 1968年文系第4問解説

方針・初手

（1）平面 $p$ に関して点 $A, B$ が反対側にあり、かつ $p$ からの距離が等しいという条件を、幾何学的性質またはベクトルを用いて立式する。線分 $AB$ と平面 $p$ の交点を考え、その点が $AB$ をどのような比に内分するかを特定すればよい。

（2）「4点から等距離にある平面」とは、各点から平面に下ろした垂線の長さがすべて等しい平面のことである。4点 $A, B, C, D$ が同一平面上にない（四面体をなす）とき、各点が平面のどちら側にあるか（正領域か負領域か）の組み合わせによって場合分けを行う。

解法1

(1)

平面 $p$ と線分 $AB$ の交点を $M$ とする。点 $A, B$ は平面 $p$ に関して反対側にあるため、点 $M$ は線分 $AB$ 上（端点を除く）に存在する。

点 $A, B$ から平面 $p$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $H_A, H_B$ とすると、仮定より $AH_A = BH_B$ である。

直角三角形 $AMH_A$ と直角三角形 $BMH_B$ において、

$\angle AH_AM = \angle BH_BM = 90^\circ$
対頂角より $\angle AMH_A = \angle BMH_B$
仮定より $AH_A = BH_B$

1辺と両端の角がそれぞれ等しいため、$\triangle AMH_A \equiv \triangle BMH_B$ である。

よって $AM = BM$ となり、点 $M$ は線分 $AB$ の中点である。したがって、平面 $p$ は線分 $AB$ の中点を通る。

(2)

4点 $A, B, C, D$ から平面 $p$ までの距離をそれぞれ $d_A, d_B, d_C, d_D$ とする。条件より $d_A = d_B = d_C = d_D = d$ ($d > 0$) である。

平面 $p$ によって分けられる2つの空間領域を $S_1, S_2$ とする。各点がどちらの領域に属するかで場合分けをする。ただし、全点が片側に寄ることは $d > 0$ よりあり得ず、また $S_1$ と $S_2$ の入れ替えは同一の平面を与える。

[Case 1] 1点と3点に分かれる場合 （例：$A \in S_1$ かつ $B, C, D \in S_2$）

このとき、平面 $p$ は線分 $AB, AC, AD$ のそれぞれの中点を通る平面となる。1点だけ孤立させる点の選び方は、$_4C_1 = 4$ 通りある。このとき、例えば $A$ を孤立させた平面は、$\triangle BCD$ に平行で、点 $A$ と平面 $BCD$ の距離を二等分する位置に一意に定まる。

[Case 2] 2点と2点に分かれる場合 （例：$A, B \in S_1$ かつ $C, D \in S_2$）

このとき、平面 $p$ は線分 $AC, AD, BC, BD$ の各中点を通る。2点ずつの組み分け方は、$\{A, B\}$ と $\{C, D\}$、$\{A, C\}$ と $\{B, D\}$、$\{A, D\}$ と $\{B, C\}$ の $_4C_2 \div 2 = 3$ 通りある。このとき、例えば $\{A, B\}$ と $\{C, D\}$ を分ける平面は、直線 $AB$ と直線 $CD$ の両方に平行な方向に広がり、それらの中間を通る位置に一意に定まる。

以上より、求める平面の個数は

$$ 4 + 3 = 7 $$

である。

解説

この問題は、空間図形における「点と平面の距離」の理解を問うものである。

（1）では、平面を挟んで反対側にある2点からの距離が等しいとき、その平面は2点を結ぶ線分の中点を通るという基本的な性質を示す。

（2）では、その性質を拡張する。4点 $A, B, C, D$ が四面体の頂点であるとき、平面 $p$ がそれらから等距離にあるためには、各頂点が平面の「上」か「下」のどちらかに距離 $d$ で位置する必要がある。全点が同じ側にあると平面が点を通らないため距離が $d$ で一定にならず（平行移動すれば可能だが、4点は同一平面上にないため不可）、必然的に「1点 vs 3点」または「2点 vs 2点」の分割に帰着する。

1点 vs 3点: 四面体の各頂点に対応して4つ（面に平行な平面）。
2点 vs 2点: 対辺のペアに対応して3つ（ねじれの位置にある辺に平行な平面）。

これらは高校数学の空間図形やベクトルの応用問題として頻出のテーマである。

答え

(1)

線分 $AB$ と平面 $p$ の交点を $M$ とし、点 $A, B$ から $p$ に下ろした垂線の足を $H_A, H_B$ とすると、$\triangle AMH_A \equiv \triangle BMH_B$ より $AM = BM$ となるため、$p$ は線分 $AB$ の中点を通る。

(2)

7個