京都大学 1972年 文系 第2問 解説

方針・初手

「$x, y, z$ のうち少なくとも1つは $a$ に等しい」という結論は、方程式 $(x-a)(y-a)(z-a)=0$ が成り立つことと同値である。したがって、与えられた条件式からこの等式を導くことを目標とする。また、式が対称式であることに着目し、基本対称式で表す方法や、因数分解の公式を利用する方針が考えられる。

解法1

示すべき事柄は、$(x-a)(y-a)(z-a) = 0$ が成り立つことである。

この式の左辺を展開すると、

$$ (x-a)(y-a)(z-a) = xyz - a(xy+yz+zx) + a^2(x+y+z) - a^3 $$

となる。条件より $x+y+z=a$ であるから、これを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} (x-a)(y-a)(z-a) &= xyz - a(xy+yz+zx) + a^2 \cdot a - a^3 \\ &= xyz - a(xy+yz+zx) \end{aligned} $$

次に、条件式 $x^3+y^3+z^3=a^3$ を用いて $xyz - a(xy+yz+zx)$ の値を求める。

3文字の3乗の和に関する因数分解の公式から、

$$ x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) $$

ここで、$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$ であるため、上式は次のように変形できる。

$$ x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z) \left\{ (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) \right\} $$

この式に条件 $x+y+z=a$ と $x^3+y^3+z^3=a^3$ を代入する。

$$ a^3 - 3xyz = a \left\{ a^2 - 3(xy+yz+zx) \right\} $$

右辺を展開する。

$$ a^3 - 3xyz = a^3 - 3a(xy+yz+zx) $$

両辺から $a^3$ を引き、$-3$ で割ることで次の関係式が得られる。

$$ xyz = a(xy+yz+zx) $$

すなわち、

$$ xyz - a(xy+yz+zx) = 0 $$

これを先に展開した $(x-a)(y-a)(z-a)$ の式に代入すると、

$$ (x-a)(y-a)(z-a) = 0 $$

したがって、$x-a=0$ または $y-a=0$ または $z-a=0$ となり、$x, y, z$ のうち少なくとも1つは $a$ に等しいことが示された。

解法2

$(x+y+z)^3$ の展開式を利用する。

恒等式として、次が成り立つ。

$$ (x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x) $$

条件より $x+y+z=a$ および $x^3+y^3+z^3=a^3$ であるため、これらを上の恒等式に代入する。

$$ a^3 = a^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x) $$

整理すると、

$$ 3(x+y)(y+z)(z+x) = 0 $$

したがって、$x+y=0$ または $y+z=0$ または $z+x=0$ のいずれかが成り立つ。

(i)

$x+y=0$ のとき

条件 $x+y+z=a$ より、$0+z=a$ となり、$z=a$ を得る。

(ii)

$y+z=0$ のとき

条件 $x+y+z=a$ より、$x+0=a$ となり、$x=a$ を得る。

(iii)

$z+x=0$ のとき

条件 $x+y+z=a$ より、$y+0=a$ となり、$y=a$ を得る。

（i）〜（iii）のいずれの場合も、$x, y, z$ の中に $a$ と等しいものが存在するため、$x, y, z$ のうち少なくとも1つは $a$ に等しいことが示された。

解説

「少なくとも1つが $a$」という条件を、数式 $(x-a)(y-a)(z-a)=0$ に翻訳できるかどうかが第一の関門だ。この翻訳ができれば、あとは基本対称式（$x+y+z, xy+yz+zx, xyz$）を用いて式を処理する典型的な対称式の問題に帰着できる（解法1）。

また、解法2のように $(x+y+z)^3$ の展開式における形を知っていると、計算量を大幅に減らすことができる。$(x+y+z)^3 - (x^3+y^3+z^3) = 3(x+y)(y+z)(z+x)$ という因数分解は、難関大入試で時折テーマになる有用な恒等式なので、覚えておくと役立つ。

答え

略（解法1の証明を参照）