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京都大学 1988年文系第3問解説

方針・初手

(1)は $g(x) - x$ を $f(x)$ を用いて表し、$f(x) - x$ でくくり出すことを目標に式変形を行う。その際、$f(x)$ の定義式から定数 $b$ を消去する形に変形するとスムーズに因数分解できる。

(2)は(1)の結果を利用し、$g(p) = p$ かつ $f(p) \neq p$ を満たす $p$ の条件を、ある2次方程式が特定の実数解を持つ条件に帰着させる。「方程式が実数解を持つ条件（判別式）」と「その実数解が不適な値にならない条件（共通解の排除）」の2段階で考える。

解法1

(1)

$g(x) - x$ を $f(x)$ を用いて表すと、以下のようになる。

$$ \begin{aligned} g(x) - x &= f(f(x)) - x \\ &= \{ f(x) \}^2 + a f(x) + b - x \end{aligned} $$

一方で $f(x) = x^2 + ax + b$ より、$b = f(x) - x^2 - ax$ である。これを上の式に代入する。

$$ \begin{aligned} g(x) - x &= \{ f(x) \}^2 + a f(x) + \{ f(x) - x^2 - ax \} - x \\ &= \{ f(x) \}^2 - x^2 + a \{ f(x) - x \} + f(x) - x \\ &= \{ f(x) - x \} \{ f(x) + x \} + a \{ f(x) - x \} + \{ f(x) - x \} \\ &= \{ f(x) - x \} \{ f(x) + x + a + 1 \} \end{aligned} $$

したがって、$g(x) - x$ は $f(x) - x$ で割り切れる。（証明終）

(2)

(1)の結果より、方程式 $g(x) = x$ は次のように変形できる。

$$ \{ f(x) - x \} \{ f(x) + x + a + 1 \} = 0 $$

よって、$g(p) = p$ をみたす実数 $p$ は、$f(p) - p = 0$ または $f(p) + p + a + 1 = 0$ をみたす。条件「$g(p) = p$ かつ $f(p) \neq p$」をみたす実数 $p$ が存在することは、「方程式 $f(x) + x + a + 1 = 0$ が $f(x) - x \neq 0$ となる実数解を持つ」ことと同値である。

方程式 $f(x) + x + a + 1 = 0$ を整理する。

$$ x^2 + ax + b + x + a + 1 = 0 $$

$$ x^2 + (a+1)x + a + b + 1 = 0 \quad \cdots (*) $$

これが実数解を持つための条件は、判別式を $D$ とすると $D \geqq 0$ である。

$$ D = (a+1)^2 - 4(a + b + 1) \geqq 0 $$

$$ a^2 + 2a + 1 - 4a - 4b - 4 \geqq 0 $$

$$ a^2 - 2a - 4b - 3 \geqq 0 $$

$$ b \leqq \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}a - \frac{3}{4} \quad \cdots (**) $$

次に、方程式 $(*)$ の実数解がすべて $f(x) - x = 0$ の解となってしまう（すなわち条件 $f(p) \neq p$ に反する）場合を考え、これを除外する。方程式 $f(x) - x = 0$ は次のように表される。

$$ x^2 + (a-1)x + b = 0 \quad \cdots (***) $$

方程式 $(*)$ と $(***)$ が共通解 $x = q$ を持つと仮定する。

$$ \begin{cases} q^2 + (a+1)q + a + b + 1 = 0 \\ q^2 + (a-1)q + b = 0 \end{cases} $$

辺々を引くと $2q + a + 1 = 0$ となり、$q = -\frac{a+1}{2}$ である。これが方程式 $(***)$ の解となる条件は、$(***)$ に代入して以下の式が成り立つことである。

$$ \left( -\frac{a+1}{2} \right)^2 + (a-1)\left( -\frac{a+1}{2} \right) + b = 0 $$

$$ \frac{a^2 + 2a + 1}{4} - \frac{a^2 - 1}{2} + b = 0 $$

両辺に $4$ を掛けて整理する。

$$ a^2 + 2a + 1 - 2(a^2 - 1) + 4b = 0 $$

$$ -a^2 + 2a + 3 + 4b = 0 $$

$$ b = \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}a - \frac{3}{4} $$

これは条件 $(**)$ の等号成立条件（すなわち $D = 0$）と完全に一致する。 $D = 0$ のとき、方程式 $(*)$ は重解 $x = -\frac{a+1}{2}$ を持ち、これが $(***)$ の解とも一致するため、方程式 $(*)$ の実数解で $f(x) - x \neq 0$ をみたすものは存在しない。

一方、$D > 0$ のときは、方程式 $(*)$ は異なる2つの実数解を持つ。共通解は高々1つ（$q = -\frac{a+1}{2}$）なので、少なくとも1つの実数解は $(***)$ の解ではない。したがって、求める条件は $D > 0$ であり、以下の不等式を得る。

$$ b < \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}a - \frac{3}{4} $$

$$ b < \frac{1}{4}(a - 1)^2 - 1 $$

これを $ab$ 平面上に図示すると、放物線 $b = \frac{1}{4}(a - 1)^2 - 1$ の下側の領域となる。

解説

合成関数 $f(f(x))$ に関する方程式の典型的な問題である。(1)のような因数分解は、「方程式 $f(f(x)) = x$ は、方程式 $f(x) = x$ の解を必ず解に持つ」という性質から予測が立つ。関数方程式における定石の式変形として押さえておきよう。 (2)では「かつ $f(p) \neq p$」という条件の扱いがポイントになる。「実数解を持つ条件（判別式）」を求めたあと、それが「除外すべき解（共通解）と一致してしまわないか」を検証する論理展開が求められる。