京都大学 1984年 理系 第5問 解説

方針・初手

(1) は、確率 $P_i$ を $r, s, i$ を用いて表し、$P_{i+1}$ との比を計算することで大小関係を調べる。

(2) は、$A$ が勝つ確率 $P_A$ が $P_1 + P_3 + P_5 + \cdots$、$B$ が勝つ確率 $P_B$ が $P_2 + P_4 + P_6 + \cdots$ であることに着目し、(1) の結果を用いて $P_A \geqq P_B$ を示す。さらに $P_A = 1/2$ となるための条件から $r$ と $s$ の値を絞り込む。

解法1

(1)

全球の数は $r+s$ 個である。 ちょうど $i$ 回目に勝者が決まるのは、$i-1$ 回目まで連続して白球を取り出し、$i$ 回目に赤球を取り出す場合である。 したがって、白球の数 $s$ と $i$ の関係によって場合分けをする。

(i)

$i \leqq s$ のとき

$i$ 回目および $i+1$ 回目に勝者が決まる確率 $P_i, P_{i+1}$ はそれぞれ

$$ P_i = \frac{s}{r+s} \cdot \frac{s-1}{r+s-1} \cdots \frac{s-i+2}{r+s-i+2} \cdot \frac{r}{r+s-i+1} $$

$$ P_{i+1} = \frac{s}{r+s} \cdot \frac{s-1}{r+s-1} \cdots \frac{s-i+2}{r+s-i+2} \cdot \frac{s-i+1}{r+s-i+1} \cdot \frac{r}{r+s-i} $$

となる。（$i=1$ のときは $P_1 = \frac{r}{r+s}$ とする。） 両者の比をとると、

$$ \frac{P_{i+1}}{P_i} = \frac{s-i+1}{r+s-i} $$

となる。ここで、条件 $r \geqq 1$ より $r+s-i \geqq s-i+1$ である。 また、$i \leqq s$ より $s-i+1 \geqq 1 > 0$ であるから、

$$ 0 < \frac{s-i+1}{r+s-i} \leqq 1 $$

となり、$P_i \geqq P_{i+1}$ が成り立つ。

(ii)

$i = s+1$ のとき

$s+1$ 回目には残っている球がすべて赤球であるため、$s+2$ 回目以降にゲームが続くことはない。 よって $P_{s+1} > 0$、$P_{s+2} = 0$ となり、$P_{s+1} \geqq P_{s+2}$ が成り立つ。

(iii)

$i \geqq s+2$ のとき

すでに白球はなくなっており、勝者は決定しているため $P_i = P_{i+1} = 0$ である。 よって $P_i \geqq P_{i+1}$ が成り立つ。

以上 （i） 〜 （iii） より、すべての $i \geqq 1$ に対して $P_i \geqq P_{i+1}$ となることが示された。

(2)

ゲームが $A$ から始まるため、$A$ が勝者となるのは奇数回目に赤球が出たとき、すなわち $1, 3, 5, \cdots$ 回目である。 $B$ が勝者となるのは偶数回目に赤球が出たとき、すなわち $2, 4, 6, \cdots$ 回目である。 $A$ が勝つ確率を $P_A$、$B$ が勝つ確率を $P_B$ とすると、

$$ P_A = P_1 + P_3 + P_5 + \cdots $$

$$ P_B = P_2 + P_4 + P_6 + \cdots $$

となる。（いずれも有限和である。） これら辺々を引くと、

$$ P_A - P_B = (P_1 - P_2) + (P_3 - P_4) + (P_5 - P_6) + \cdots $$

(1) の結果より、各項について $P_{2k-1} - P_{2k} \geqq 0$ ($k=1, 2, \dots$) であるから、

$$ P_A - P_B \geqq 0 \iff P_A \geqq P_B $$

が成り立つ。 また、つぼの中には少なくとも1個の赤球があり、有限回で必ず誰かが赤球を取り出すため、引き分けはなく

$$ P_A + P_B = 1 $$

である。 これらより、$P_B = 1 - P_A$ を不等式に代入して、

$$ P_A \geqq 1 - P_A \iff 2P_A \geqq 1 \iff P_A \geqq \frac{1}{2} $$

となり、$A$ が勝者となる確率は $\frac{1}{2}$ またはそれ以上であることが示された。

次に、$P_A = \frac{1}{2}$ となる条件を求める。 $P_A = \frac{1}{2}$ となるのは $P_A = P_B$、すなわち

$$ (P_1 - P_2) + (P_3 - P_4) + \cdots = 0 $$

となるときである。すべてのカッコ内は $0$ 以上であるから、これが成り立つのは

$$ P_1 = P_2, \quad P_3 = P_4, \quad \dots $$

がすべて満たされるときである。 特に $P_1 = P_2$ について考える。 $s=0$ のときは $P_1 = 1, P_2 = 0$ となり不適であるから $s \geqq 1$ とする。

$$ P_1 - P_2 = \frac{r}{r+s} - \frac{s}{r+s} \cdot \frac{r}{r+s-1} = \frac{r}{r+s} \left( 1 - \frac{s}{r+s-1} \right) = \frac{r(r-1)}{(r+s)(r+s-1)} $$

これが $0$ になるのは $r=1$ のときである。 逆に $r=1$ のとき、つぼの中に赤球は1個だけであり、これを引けばゲームが終了する。 全 $s+1$ 個の球を1列に並べるとき、赤球が $i$ 番目にある確率はすべて等しいので、

$$ P_i = \frac{1}{s+1} \quad (1 \leqq i \leqq s+1) $$

であり、$i \geqq s+2$ に対しては $P_i = 0$ となる。 このとき、

$$ P_A = P_1 + P_3 + P_5 + \cdots, \quad P_B = P_2 + P_4 + P_6 + \cdots $$

$P_A = P_B$ となるためには、項 $P_i = \frac{1}{s+1}$ が存在する $i=1, 2, \dots, s+1$ までの項数が偶数個であればよい。 したがって、$s+1$ が偶数であればよく、すなわち $s$ が奇数であることが条件となる。 （$s$ が偶数の場合は奇数項の和である $P_A$ の方が1項多くなり、$P_A > P_B$ となる。）

よって、$P_A = \frac{1}{2}$ となるための条件は、$r=1$ かつ $s$ が奇数であることである。

解説

非復元抽出による確率の有名問題であり、いわゆる「くじ引きの公平性」に関連するテーマである。 (1) では、確率の大小を比で比較する手法が効果的である。直接引き算して正であることを示しても構わないが、積の形で表される確率の数列では比をとることで式が劇的に簡略化される。 (2) では、$P_A$ と $P_B$ を直接計算するのではなく、各項の差に注目することが重要である。この発想は不等式の証明でよく用いられる。後半の条件については、必要条件として $r=1$ を絞り出し、その後十分性を確認する論理の流れを明確に記述したい。$r=1$ のときは「特定の順目に赤球が出る確率は常に等しい」というくじ引きの基本性質が使えるとスムーズである。

答え

(1)

略（解法1の証明を参照）

(2)

$r=1$ かつ $s$ は奇数