京都大学 1992年 文系 第2問 解説

方針・初手

(1) 与えられた三角方程式を解く。和積の公式を用いて積の形にするか、単位円上の動点の対称性を利用して角の比較を行うのが定石である。 (2)

$\sin 3\theta$ と $\sin 2\theta$ をそれぞれ3倍角・2倍角の公式で展開し、方程式を $\cos\theta$ だけの式に帰着させる。$\theta$ の範囲から $\cos\theta$ のとりうる値の範囲が定まるため、二次方程式の解の配置問題として処理する。

解法1

(1) 方程式 $\sin 3\theta = \sin 2\theta$ を移項して和積の公式を用いる。

$$ \sin 3\theta - \sin 2\theta = 0 $$

$$ 2 \cos \frac{5\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2} = 0 $$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{4}$ であるから $\sin \frac{\theta}{2} > 0$ である。 よって $\cos \frac{5\theta}{2} = 0$ が成り立つ。 $0 < \frac{5\theta}{2} < \frac{5\pi}{4}$ の範囲において、これを満たすのは以下のときのみである。

$$ \frac{5\theta}{2} = \frac{\pi}{2} $$

したがって $\theta = \frac{\pi}{5}$ となる。

(2) 方程式 $\sin 3\theta = m \sin 2\theta + n \sin \theta$ に対して、3倍角の公式と2倍角の公式を用いる。

$$ 3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 2m\sin\theta\cos\theta + n\sin\theta $$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\sin\theta > 0$ であるから、両辺を $\sin\theta$ で割って整理する。

$$ 3 - 4\sin^2\theta = 2m\cos\theta + n $$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を代入する。

$$ 3 - 4(1 - \cos^2\theta) = 2m\cos\theta + n $$

$$ 4\cos^2\theta - 2m\cos\theta - n - 1 = 0 $$

ここで $t = \cos\theta$ とおくと、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < t < 1$ である。 元の$\theta$ についての方程式が解をもつためには、次の二次方程式が $0 < t < 1$ の範囲に実数解をもてばよい。

$$ 4t^2 - 2mt - n - 1 = 0 \quad \cdots (*) $$

左辺を $f(t)$ とおく。$f(0) = -n - 1$ であり、$n$ は $0$ 以上の整数であるから、$f(0) \le -1 < 0$ が成り立つ。 $y=f(t)$ のグラフは下に凸の放物線であり、$y$ 軸の負の部分と交わるため、$t > 0$ の範囲に必ず1つの正の実数解をもつ。 したがって、その解が $0 < t < 1$ の範囲に含まれるための条件は $f(1) > 0$ となることである。

$$ f(1) = 4 \cdot 1^2 - 2m \cdot 1 - n - 1 = 3 - 2m - n > 0 $$

これを整理すると以下の不等式を得る。

$$ 2m + n < 3 $$

$m, n$ は $0$ 以上の整数であるから、この不等式を満たす組 $(m, n)$ をすべて求める。 $m=0$ のとき、$n < 3$ より $n = 0, 1, 2$ である。 $m=1$ のとき、$2 + n < 3$ すなわち $n < 1$ より $n = 0$ である。 $m \ge 2$ のとき、$2m+n \ge 4$ となり条件を満たす $n$ は存在しない。 よって、条件を満たす組は $(m, n) = (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0)$ の4組である。

それぞれの組について、方程式 $(*)$ を解いて $\theta$ を求める。

(i)

$(m, n) = (0, 0)$ のとき 方程式 $(*)$ は $4t^2 - 1 = 0$ となり、$t^2 = \frac{1}{4}$ である。 $0 < t < 1$ より $t = \frac{1}{2}$ すなわち $\cos\theta = \frac{1}{2}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{3}$ を得る。

(ii)

$(m, n) = (0, 1)$ のとき 方程式 $(*)$ は $4t^2 - 2 = 0$ となり、$t^2 = \frac{1}{2}$ である。 $0 < t < 1$ より $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ すなわち $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{4}$ を得る。

(iii)

$(m, n) = (0, 2)$ のとき 方程式 $(*)$ は $4t^2 - 3 = 0$ となり、$t^2 = \frac{3}{4}$ である。 $0 < t < 1$ より $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ すなわち $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{6}$ を得る。

(iv)

$(m, n) = (1, 0)$ のとき 与えられた方程式は $\sin 3\theta = \sin 2\theta$ となるため、(1) の結果より直ちに $\theta = \frac{\pi}{5}$ を得る。

解法2

(1)の別解 一般角としての三角関数の性質 $\sin \alpha = \sin \beta \iff \alpha = \beta + 2k\pi \ または \ \alpha = \pi - \beta + 2k\pi \ (k は整数)$ を利用する。

$$ 3\theta = 2\theta + 2k\pi \quad \text{または} \quad 3\theta = \pi - 2\theta + 2k\pi $$

前者の場合、$\theta = 2k\pi$ となるが、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす整数 $k$ は存在しない。 後者の場合、$5\theta = (2k+1)\pi$ より $\theta = \frac{2k+1}{5}\pi$ となる。 $0 < \frac{2k+1}{5}\pi < \frac{\pi}{2}$ を満たすのは $0 < 2k+1 < 2.5$ より $k=0$ のときのみである。 したがって $\theta = \frac{\pi}{5}$ となる。

解説

(2) は三角方程式を代数的な方程式に帰着させる典型的な問題である。$f(0) < 0$ が常に成り立つことに気づけば、軸の位置や判別式を調べる必要がなくなり、必要な条件が $f(1) > 0$ のみとなるため計算量が大幅に削減される。 また、$(m, n) = (1, 0)$ の場合は(1)の方程式そのものであり、問題が美しい誘導になっていることを見逃さないようにしたい。

答え

(1)

$\theta = \frac{\pi}{5}$

(2)

$(m, n) = (0, 0)$ のとき $\theta = \frac{\pi}{3}$ $(m, n) = (0, 1)$ のとき $\theta = \frac{\pi}{4}$ $(m, n) = (0, 2)$ のとき $\theta = \frac{\pi}{6}$ $(m, n) = (1, 0)$ のとき $\theta = \frac{\pi}{5}$