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北海道大学 1995年文系第1問解説

方針・初手

求める式が $\tan \theta$ であることから、与えられた $2\theta$ の方程式を $\tan \theta$ の式に書き換えることを目指す。倍角の公式を用いて $\cos 2\theta$ と $\sin 2\theta$ を $\tan \theta$ だけで表すのが定石である。

解法1

$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ であるから、常に $\cos \theta \neq 0$ である。したがって、$\tan \theta$ は実数全体の値を取り得る。 $\tan \theta = t$ とおく。

倍角の公式より、$\cos 2\theta$ および $\sin 2\theta$ は以下のように $t$ を用いて表せる。

$$ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} $$

$$ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{2t}{1 + t^2} $$

これらを与えられた方程式 $2 \cos 2\theta + a \sin 2\theta = 1$ に代入すると、次のようになる。

$$ 2 \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right) + a \left( \frac{2t}{1 + t^2} \right) = 1 $$

$1 + t^2 > 0$ であるから、両辺に $1 + t^2$ を掛けて分母を払う。

$$ 2(1 - t^2) + 2at = 1 + t^2 $$

展開して整理し、$t$ についての2次方程式の形にする。

$$ 2 - 2t^2 + 2at = 1 + t^2 $$

$$ 3t^2 - 2at - 1 = 0 $$

この2次方程式を解の公式を用いて解く。

$$ t = \frac{-(-a) \pm \sqrt{(-a)^2 - 3 \cdot (-1)}}{3} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 3}}{3} $$

$t = \tan \theta$ であったから、これが求める $\tan \theta$ の値となる。

解説

三角関数の式変形において、$\sin 2\theta$ や $\cos 2\theta$ を $\tan \theta$ の有理式で表す変形は頻出のテクニックである。公式として丸暗記していなくても、各式の分母に $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta (= 1)$ が隠れていると考え、分母分子を $\cos^2 \theta$ で割ることで容易に導出できる。この手法は積分計算などでも有効である。