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京都大学 2017年理系第3問解説

方針・初手

正接（タンジェント）の加法定理と2倍角の公式を用いて、$\tan(\alpha + 2\beta)$ を $p,\ q$ の式で表します。与えられた等式から $p,\ q$ についての方程式を導き、分母を払って得られる不定方程式を「自然数」という条件を利用して（不等式による絞り込み等を用いて）解き進めます。

解法1

$p,\ q$ は自然数より、$\tan\alpha = \dfrac{1}{p} > 0,\ \tan\beta = \dfrac{1}{q} > 0$ である。

まず、$q = 1$ の場合を考える。

$q = 1$ のとき $\tan\beta = 1$ であり、$\beta = \dfrac{\pi}{4} + n\pi$（$n$ は整数）とおける。

このとき $2\beta = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$ となるから、

$$ \tan(\alpha + 2\beta) = \tan\!\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{\tan\alpha} = -p $$

条件より $\tan(\alpha + 2\beta) = 2$ であるから、$-p = 2$ すなわち $p = -2$ となるが、これは $p$ が自然数であることに矛盾する。

よって、$q \neq 1$ であり、$q \geq 2$ である。

次に、$q \geq 2$ の場合を考える。

正接の2倍角の公式より、

$$ \tan 2\beta = \frac{2\tan\beta}{1 - \tan^2\beta} = \frac{\dfrac{2}{q}}{1 - \dfrac{1}{q^2}} = \frac{2q}{q^2 - 1} $$

（$q \geq 2$ より $q^2 - 1 \neq 0$ であるから、この値は存在する）

さらに加法定理を用いると、

$$ \tan(\alpha + 2\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan 2\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan 2\beta} = \frac{\dfrac{1}{p} + \dfrac{2q}{q^2-1}}{1 - \dfrac{1}{p} \cdot \dfrac{2q}{q^2-1}} $$

分母・分子に $p(q^2 - 1)$ を掛けると、

$$ \tan(\alpha + 2\beta) = \frac{q^2 - 1 + 2pq}{p(q^2-1) - 2q} $$

これが $2$ に等しいので、

$$ \frac{q^2 - 1 + 2pq}{p(q^2-1) - 2q} = 2 $$

分母を払って整理する。

$$ q^2 - 1 + 2pq = 2p(q^2 - 1) - 4q $$

$p$ について整理するために項をまとめると、

$$ q^2 + 4q - 1 = 2p(q^2 - 1) - 2pq = 2p(q^2 - q - 1) $$

$$ p = \frac{q^2 + 4q - 1}{2(q^2 - q - 1)} \quad \cdots① $$

ここで $q \geq 2$ のとき、$q^2 - q - 1 = q(q-1) - 1 \geq 2 \cdot 1 - 1 = 1 > 0$ である。

したがって、①の両辺を $2(q^2 - q - 1)$ で割ることができ、

$$ p = \frac{q^2 + 4q - 1}{2(q^2 - q - 1)} $$

となる。

右辺の分子を分母の多項式で割って次数を下げる変形を行う。

$$ q^2 + 4q - 1 = 1 \cdot (q^2 - q - 1) + 5q $$

よって、

$$ p = \frac{(q^2 - q - 1) + 5q}{2(q^2 - q - 1)} = \frac{1}{2} + \frac{5q}{2(q^2 - q - 1)} $$

両辺を2倍して移項すると、

$$ 2p - 1 = \frac{5q}{q^2 - q - 1} $$

$p$ は自然数なので $2p - 1$ は正の奇数（特に整数）である。したがって、$\dfrac{5q}{q^2 - q - 1}$ は正の整数でなければならない。

この値が $1$ 以上となるための条件は、

$$ \frac{5q}{q^2 - q - 1} \geq 1 $$

$q^2 - q - 1 > 0$ なので、両辺に $q^2 - q - 1$ を掛けて

$$ 5q \geq q^2 - q - 1 \implies q^2 - 6q - 1 \leq 0 $$

方程式 $q^2 - 6q - 1 = 0$ の解は $q = 3 \pm \sqrt{10}$ である。

$3 < \sqrt{10} < 4$ より、$3 - \sqrt{10} < 0$、$6 < 3 + \sqrt{10} < 7$ であるから、不等式を満たす自然数 $q$ は、条件 $q \geq 2$ と合わせて

$$ q \in \{2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\} $$

のいずれかに絞られる。

これらの $q$ の値について、$2p - 1 = \dfrac{5q}{q^2 - q - 1}$ を計算し、$p$ が自然数となるものを探す。

$q = 2$ のとき：$2p - 1 = \dfrac{10}{4 - 2 - 1} = 10 \implies 2p = 11$（不適）
$q = 3$ のとき：$2p - 1 = \dfrac{15}{9 - 3 - 1} = \dfrac{15}{5} = 3 \implies 2p = 4 \implies p = 2$（適する）
$q = 4$ のとき：$2p - 1 = \dfrac{20}{16 - 4 - 1} = \dfrac{20}{11}$（不適）
$q = 5$ のとき：$2p - 1 = \dfrac{25}{25 - 5 - 1} = \dfrac{25}{19}$（不適）
$q = 6$ のとき：$2p - 1 = \dfrac{30}{36 - 6 - 1} = \dfrac{30}{29}$（不適）

以上より、条件を満たす組は $(p, q) = (2, 3)$ のみである。

解説

三角関数の加法定理から導かれる等式を、整数の不定方程式に帰着させる典型的な融合問題です。

まず、$q = 1$ の場合（$\tan\beta = 1$ のとき、$\tan 2\beta$ の分母が $0$ になるためそのまま公式を使えない）の議論を独立して行い、除外することが論理の穴をなくす第一歩です。

不定方程式 $p = \dfrac{q^2 + 4q - 1}{2(q^2 - q - 1)}$ に帰着した後は、「分子の次数を分母の次数より下げる」という定石に従います。これにより、$\dfrac{5q}{q^2 - q - 1}$ が整数になる必要があることが見え、$q$ が大きくなると分母（2次）の方が分子（1次）より早く大きくなることから、不等式を用いて $q$ の候補を有限個に絞り込むことができます。