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京都大学 1992年文系第4問解説

方針・初手

サイコロの目の積が特定の数で割り切れる確率を求める問題では、直接求める場合分けが複雑になりやすいため、「指定の数で割り切れない確率」という余事象を考えるのが定石である。サイコロの目は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ であり、素因数として考えるべきは $2$ と $3$ である。 (1) は「$3$ の倍数が1回も出ない」確率を考える。 (2) は「$4$ で割り切れない」ための条件を整理する。これは「すべて奇数」または「素因数 $2$ を1つだけ含む目がちょうど1回出て、残りがすべて奇数」という排反な事象に分けられる。

解法1

(1) $X$ が $3$ で割り切れる事象の余事象は、「$X$ が $3$ で割り切れない」ことである。 $X$ が $3$ で割り切れないための条件は、$n$ 回のサイコロ投げすべてにおいて、$3$ の倍数以外の目（すなわち $1, 2, 4, 5$）が出ることである。 1回サイコロを振って $1, 2, 4, 5$ の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。これが $n$ 回連続して起こる確率は $\left(\frac{2}{3}\right)^n$ となる。したがって、求める確率 $p_n$ は余事象の確率を $1$ から引いて、以下のようになる。

$$ p_n = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n $$

(2) $X$ が $4$ で割り切れる事象の余事象は、「$X$ が $4$ で割り切れない」ことである。 $X$ が $4$ で割り切れないのは、次の2つの排反な事象 (i), (ii) のいずれかが起こる場合である。

(i)

$X$ が奇数である場合これは $n$ 回すべてで奇数の目（$1, 3, 5$）が出る場合である。 1回サイコロを振って奇数の目が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。したがって、この事象が起こる確率は $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ である。

(ii)

$X$ が偶数であるが、$4$ で割り切れない場合これは $X$ を素因数分解したときの $2$ の指数がちょうど $1$ になる場合である。サイコロの目のうち、素因数 $2$ を1つだけ持つ目は $2, 6$ の2個であり、素因数 $2$ を2つ持つ目は $4$ の1個である。したがって、この事象が起こるのは、$n$ 回のうちちょうど1回だけ「$2, 6$」のいずれかが出て、残りの $n-1$ 回はすべて「奇数（$1, 3, 5$）」が出る場合である。この確率は反復試行の確率を用いて次のように計算できる。

$$ _n\text{C}_1 \times \left(\frac{2}{6}\right)^1 \times \left(\frac{3}{6}\right)^{n-1} = n \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

(i) と (ii) は互いに排反であるから、$X$ が $4$ で割り切れない確率はこれらの和となる。

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^n + n \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

これを $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ でくくって整理すると、

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^n + \frac{2n}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(1 + \frac{2n}{3}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{2n+3}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^n $$

求める確率 $q_n$ は余事象の確率を $1$ から引いたものであるから、

$$ q_n = 1 - \frac{2n+3}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^n $$