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京都大学 2023年文系第1問解説

方針・初手

問1は、「積が $5$ で割り切れる」という条件を「少なくとも $1$ 回は $5$ の目が出る」と言い換え、余事象の確率を利用します。
問2は、$x = \sqrt[3]{3}$ とおき、分母を $x$ の2次式として扱います。分子・分母に適切な2次式を掛けることで、分母が $x^3$（すなわち有理数）のみで表されるようにする未定係数法を用いると見通しよく計算できます。

解法1

問1

$1$ 個のさいころを $n$ 回投げるとき、目の出方の総数は $6^n$ 通りである。「出た目の積が $5$ で割り切れる」という事象は、「少なくとも $1$ 回は $5$ の目が出る」という事象と同じである。

この余事象は「$n$ 回とも $5$ 以外の目が出る」ことである。$1$ 回の試行で $5$ 以外の目（$1, 2, 3, 4, 6$）が出る確率は $\frac{5}{6}$ であるから、$n$ 回とも $5$ 以外の目が出る確率は

$$ \left( \frac{5}{6} \right)^n $$

したがって、求める確率は余事象の確率より

$$ 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n $$

問2

$x = \sqrt[3]{3}$ とおくと、$x^3 = 3$ であり、$\sqrt[3]{9} = x^2$ である。与えられた式の分母は $2x^2 + x + 5$ と表せる。

この分母を有理化するために、有理数 $a, b, c$ を用いて、

$$ (2x^2 + x + 5)(ax^2 + bx + c) $$

が有理数（定数）となるような $a, b, c$ を求める。式を展開して $x^3 = 3,\ x^4 = 3x$ を代入すると、

$$\begin{aligned} &(2x^2 + x + 5)(ax^2 + bx + c) \\ &= 2ax^4 + (2b+a)x^3 + (2c+b+5a)x^2 + (c+5b)x + 5c \\ &= (5a+b+2c)x^2 + (6a+5b+c)x + (3a+6b+5c) \end{aligned}$$

これが $x$ によらない定数となるためには、

$$ \begin{cases} 5a + b + 2c = 0 & \cdots ① \\ 6a + 5b + c = 0 & \cdots ② \end{cases} $$

②より $c = -6a - 5b$。これを①に代入すると $-7a - 9b = 0$、すなわち $7a = -9b$。

整数の解として $a = 9,\ b = -7$ をとると、$c = -54 + 35 = -19$。

このときの積（定数項）は

$$ 3a + 6b + 5c = 27 - 42 - 95 = -110 $$

よって、分子と分母に $9x^2 - 7x - 19$ を掛けると、

$$\begin{aligned} \frac{55}{2x^2 + x + 5} &= \frac{55(9x^2 - 7x - 19)}{-110} \\ &= \frac{-9x^2 + 7x + 19}{2} \end{aligned}$$

$x = \sqrt[3]{3},\ x^2 = \sqrt[3]{9}$ を代入して元の表記に戻すと、

$$ \frac{19 + 7\sqrt[3]{3} - 9\sqrt[3]{9}}{2} $$

解説

問1は、確率の基本である「余事象」の考え方を用いる典型問題です。「$5$ で割り切れる」＝「素因数に $5$ を含む」＝「$5$ の目が $1$ 回以上出る」と読み替えるのがポイントです。

問2は、$3$ 乗根を含む複雑な式の有理化です。分母が $p\sqrt[3]{x^2} + q\sqrt[3]{x} + r$ の形をしている場合、文字でおいて多項式の展開として処理し、未定係数法を用いて $2$ 次以下の項が消えるような式を見つけるのが確実なアプローチです。連立方程式を満たす解の比さえ合っていれば無数に解があるため、計算しやすい小さな整数を選ぶとよいでしょう。