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京都大学 1994年文系第5問解説

方針・初手

2曲線の方程式から $y$ を消去し、$x$ についての方程式を導く。得られた方程式が相異なる4つの実数解を持つような定数 $a$ の条件を求める問題に帰着させる。定数 $a$ を右辺に分離し、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の共有点の個数を調べる定石のアプローチをとる。

解法1

$C_1 : y = x^2 - \frac{5}{4}$ $C_2 : x = y^2 - a$

$C_1$ の式を $C_2$ に代入して $y$ を消去すると、

$$ x = \left( x^2 - \frac{5}{4} \right)^2 - a $$

定数 $a$ を分離するように変形し、左辺を $f(x)$ とおく。

$$ a = \left( x^2 - \frac{5}{4} \right)^2 - x $$

$$ f(x) = x^4 - \frac{5}{2}x^2 - x + \frac{25}{16} $$

$C_1$ において、$x$ の値が1つ定まれば $y$ の値もただ1つ定まる。したがって、$C_1$ と $C_2$ が相異なる4つの交点を持つための条件は、方程式 $f(x) = a$ が相異なる4つの実数解を持つこと、すなわち、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ が相異なる4つの共有点を持つことである。

$f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x) = 4x^3 - 5x - 1 $$

$f'(-1) = -4 + 5 - 1 = 0$ であるから、因数定理より $f'(x)$ は $x+1$ を因数にもつ。

$$ f'(x) = (x+1)(4x^2 - 4x - 1) $$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = -1$ または $4x^2 - 4x - 1 = 0$ 後者の2次方程式を解くと、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

極値を求める。 $x = -1$ のとき、

$$ f(-1) = 1 - \frac{5}{2} + 1 + \frac{25}{16} = -\frac{1}{2} + \frac{25}{16} = \frac{-8 + 25}{16} = \frac{17}{16} $$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ のとき、$4x^2 - 4x - 1 = 0$ より $x^2 - x - \frac{1}{4} = 0$ が成り立つ。 $f(x)$ を $x^2 - x - \frac{1}{4}$ で割ると、

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^4 - \frac{5}{2}x^2 - x + \frac{25}{16} \\ &= \left( x^2 + x - \frac{5}{4} \right) \left( x^2 - x - \frac{1}{4} \right) - 2x + \frac{5}{4} \end{aligned} $$

となるため、$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ のときの $f(x)$ の値は $-2x + \frac{5}{4}$ の値に等しい。

$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ のとき、

$$ f \left( \frac{1 - \sqrt{2}}{2} \right) = -2 \left( \frac{1 - \sqrt{2}}{2} \right) + \frac{5}{4} = -1 + \sqrt{2} + \frac{5}{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{2} = \frac{1 + 4\sqrt{2}}{4} $$

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ のとき、

$$ f \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \right) = -2 \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \right) + \frac{5}{4} = -1 - \sqrt{2} + \frac{5}{4} = \frac{1}{4} - \sqrt{2} = \frac{1 - 4\sqrt{2}}{4} $$

ここで、3つの極値の大小関係を調べる。 $\sqrt{2} > 1$ より $\frac{1 - 4\sqrt{2}}{4} < 0$ であり、$\frac{17}{16} > 0$ である。また、$\frac{1 + 4\sqrt{2}}{4} - \frac{17}{16} = \frac{4 + 16\sqrt{2} - 17}{16} = \frac{16\sqrt{2} - 13}{16} > 0$ であるから、$\frac{17}{16} < \frac{1 + 4\sqrt{2}}{4}$ となる。したがって、極値の大小関係は以下のようになる。

$$ f \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \right) < f(-1) < f \left( \frac{1 - \sqrt{2}}{2} \right) $$

増減表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$\frac{1 - \sqrt{2}}{2}$	$\cdots$	$\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	$\frac{17}{16}$	$\nearrow$	$\frac{1 + 4\sqrt{2}}{4}$	$\searrow$	$\frac{1 - 4\sqrt{2}}{4}$	$\nearrow$

曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ が相異なる4つの共有点を持つのは、直線 $y = a$ が2つの極小値のうち大きい方と、極大値の間にあるときである。グラフの形状より、求める $a$ の範囲は

$$ f(-1) < a < f \left( \frac{1 - \sqrt{2}}{2} \right) $$

$$ \frac{17}{16} < a < \frac{1 + 4\sqrt{2}}{4} $$

解説

文字定数 $a$ を分離して、「方程式の実数解の個数」を「曲線のグラフと横軸に平行な直線の共有点の個数」に帰着させる定石問題である。計算量が多くなりがちな4次関数の極値の計算において、導関数の因数定理を用いた因数分解に気づけるか、そして極値を求める際に「次数下げ（$=0$ となる2次式での割り算）」を用いて計算を簡略化できるかが、試験本番での時間と正確性を分ける鍵となる。増減表を書き、極小値が2つある W 型のグラフを描き、極小値同士の大小比較を忘れずに行うことが重要である。