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京都大学 2000年文系第2問解説

方針・初手

与えられた不等式から数列 $\{x_k\}$ の構造的な性質を読み取ります。「最小値をとる項が3つ以上存在する」と仮定して矛盾を導く背理法で証明します。

解法1

階差数列 $d_k = x_{k+1} - x_k \ (1 \leqq k \leqq n-1)$ を定義する。条件式 $x_{k-1} - 2x_k + x_{k+1} > 0 \ (2 \leqq k \leqq n-1)$ は、次のように変形できる。

$$ x_{k+1} - x_k > x_k - x_{k-1} $$

$$ d_k > d_{k-1} $$

したがって、数列 $\{d_k\}$ は狭義単調増加である。

実数 $x_1, \dots, x_n$ の最小値を $m$ とし、$x_l = m$ となる $l$ が3つ以上存在すると仮定する。そのうちの3つのインデックスを $i, j, k \ (1 \leqq i < j < k \leqq n)$ とすると、$x_i = x_j = x_k = m$ である。また、$m$ は最小値であるから、すべての $p \ (1 \leqq p \leqq n)$ において $x_p \geqq m$ が成り立つ。

ここで、$j$ は $i < j < k$ を満たすため $2 \leqq j \leqq n-1$ であり、元の条件式に $k=j$ を適用できる。

$$ x_{j-1} - 2x_j + x_{j+1} > 0 $$

$$ x_{j-1} + x_{j+1} > 2x_j $$

$x_j = m$ を代入すると、

$$ x_{j-1} + x_{j+1} > 2m $$

$m$ は最小値であるから $x_{j-1} \geqq m$ かつ $x_{j+1} \geqq m$ である。この2つの数の和が $2m$ より大きくなるためには、$x_{j-1} > m$ または $x_{j+1} > m$ の少なくとも一方が成り立たなければならない。これを場合分けして考える。

(i)

$x_{j-1} > m$ のとき $x_j = m$ であるから、$x_j - x_{j-1} < 0$ すなわち $d_{j-1} < 0$ である。数列 $\{d_p\}$ の狭義単調増加性から、$p \leqq j-1$ を満たすすべての $p$ において $d_p \leqq d_{j-1} < 0$ となる。よって、

$$ x_j - x_i = \sum_{p=i}^{j-1} d_p < 0 $$

となるが、これは $x_i = x_j = m$ により $x_j - x_i = 0$ となることに矛盾する。

(ii)

$x_{j+1} > m$ のとき $x_j = m$ であるから、$x_{j+1} - x_j > 0$ すなわち $d_j > 0$ である。数列 $\{d_p\}$ の狭義単調増加性から、$p \geqq j$ を満たすすべての $p$ において $d_p \geqq d_j > 0$ となる。よって、

$$ x_k - x_j = \sum_{p=j}^{k-1} d_p > 0 $$

となるが、これは $x_j = x_k = m$ により $x_k - x_j = 0$ となることに矛盾する。

(i), (ii) いずれの場合も矛盾が生じるため、「$x_l = m$ となる $l$ が3つ以上存在する」という仮定は誤りである。有限個の実数 $x_1, \dots, x_n$ の中には必ず最小値が存在し、その個数は1以上である。したがって、$x_l = m$ となる $l$ の個数は1または2である。

解説

関数の「凸性」を離散的な数列に拡張した問題です。連続な関数 $f(x)$ における条件 $f''(x) > 0$ （下に凸）は、数列 $x_k$ においては階差の階差（第2階差）が正であること、すなわち $x_{k+1} - 2x_k + x_{k-1} > 0$ に対応します。下に凸の関数は、極小値をとる点が1つに限られるか、あるいは平らな底の部分をもつ（ただし今回は狭義単調増加なので平らな底は最大でも隣り合う2点のみになる）という直感的なイメージを持つと、背理法の方針が立てやすくなります。