京都大学 2017年 文系 第3問 解説

方針・初手

• $l$ 上の 2 点 P, Q と $m$ 上の点 R を頂点とする正三角形 PQR は、R から直線 $l$ に下ろした垂線の足を H とすると、RH が正三角形の高さとなります。
• 正三角形の面積が最小になるのは、高さ RH が最小となるときです。つまり、点 R と直線 $l$ の距離が最小となるときを考えます。
• R は直線 $m$ 上を動くため、RH の最小値は直線 $l$ と直線 $m$ の間の最短距離（共通垂線の長さ）に等しくなります。したがって、共通垂線の両端点となる H と R を求めることから始めます。

解法1

直線 $l$ は原点 O と A(0, -1, 1) を通るので、方向ベクトルを $\vec{u} = \vec{OA} = (0, -1, 1)$ とおく。

直線 $m$ は B(0, 2, 1) と C(-2, 2, -3) を通るので、方向ベクトルは $\vec{BC} = (-2, 0, -4) = -2(1, 0, 2)$ である。

計算を簡単にするため、直線 $m$ の方向ベクトルとして $\vec{v} = (1, 0, 2)$ を用いる。

直線 $l$ 上の点を H、直線 $m$ 上の点を R とすると、実数 $s,\ t$ を用いて次のように表せる。

$$ \vec{OH} = s\vec{u} = (0,\ {-s},\ s) $$

$$ \vec{OR} = \vec{OB} + t\vec{v} = (0, 2, 1) + t(1, 0, 2) = (t,\ 2,\ 2t+1) $$

$\triangle PQR$ の面積が最小となるのは、高さ RH が最小となるとき、すなわち線分 HR が直線 $l,\ m$ の共通垂線となるときである。

したがって、$\vec{HR} \perp \vec{u}$ かつ $\vec{HR} \perp \vec{v}$ が成り立つ。

$$ \vec{HR} = \vec{OR} - \vec{OH} = (t,\ s+2,\ 2t-s+1) $$

条件 $\vec{HR} \cdot \vec{u} = 0$ より、

$$ 0 \cdot t - 1 \cdot (s+2) + 1 \cdot (2t-s+1) = 0 \implies -2s + 2t - 1 = 0 \quad \cdots (1) $$

条件 $\vec{HR} \cdot \vec{v} = 0$ より、

$$ 1 \cdot t + 0 \cdot (s+2) + 2 \cdot (2t-s+1) = 0 \implies -2s + 5t + 2 = 0 \quad \cdots (2) $$

$(2) - (1)$ を計算すると、

$$ 3t + 3 = 0 \implies t = -1 $$

これを $(1)$ に代入して、

$$ -2s - 2 - 1 = 0 \implies s = -\frac{3}{2} $$

このとき、点 R の座標は、

$$ \vec{OR} = \left(-1,\ 2,\ 2(-1)+1\right) = (-1,\ 2,\ -1) $$

より、$\text{R}(-1,\ 2,\ -1)$ である。

また、点 H の座標は、

$$ \vec{OH} = \left(0,\ \frac{3}{2},\ {-\frac{3}{2}}\right) $$

であり、ベクトル $\vec{HR}$ は、

$$ \vec{HR} = \vec{OR} - \vec{OH} = \left(-1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{2}\right) $$

となる。

$\triangle PQR$ の高さ $h$ は $h = |\vec{HR}|$ であるから、

$$ h^2 = (-1)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} $$

$$ h = \frac{\sqrt{6}}{2} $$

$\triangle PQR$ は正三角形であるから、一辺の長さを $a$ とすると $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ が成り立つ。

$$ \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{6}}{2} \implies a = \sqrt{2} $$

点 H は底辺 PQ の中点であるから、点 P, Q は直線 $l$ 上において、点 H から距離 $\dfrac{a}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ だけ離れた点である。

直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{u} = (0, -1, 1)$ の大きさは $|\vec{u}| = \sqrt{2}$ であるから、単位方向ベクトルは $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{u}$ となる。

したがって、点 P, Q の位置ベクトルは次のように求められる。

$$ \vec{OP},\ \vec{OQ} = \vec{OH} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{u} = \vec{OH} \pm \frac{1}{2}\vec{u} $$

$$ = \left(0,\ \frac{3}{2},\ {-\frac{3}{2}}\right) \pm \left(0,\ {-\frac{1}{2}},\ \frac{1}{2}\right) $$

複号をそれぞれ計算すると、

$$ \left(0,\ \frac{3}{2} - \frac{1}{2},\ {-\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}\right) = (0,\ 1,\ -1) $$

$$ \left(0,\ \frac{3}{2} + \frac{1}{2},\ {-\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}\right) = (0,\ 2,\ -2) $$

ゆえに、P, Q の座標は $(0,\ 1,\ -1)$ と $(0,\ 2,\ -2)$ である（順不同）。

解説

空間図形において面積を最小にする問題は、図形の形状の決定要因（今回は正三角形の高さ）がどの長さに依存しているかを把握することが重要です。

直線 $l$ と直線 $m$ がねじれの位置にあるとき、その間の最短距離は共通垂線の長さとなります。内積を用いて共通垂線の足を求める処理は頻出の定石です。

P, Q の座標を求める際、方向ベクトルの大きさを単位ベクトル化して定数倍する方法をとると、連立方程式を解く手間が省けて計算ミスを減らせます。

答え

P, Q の座標は $(0,\ 1,\ -1)$ と $(0,\ 2,\ -2)$（順不同）、R の座標は $(-1,\ 2,\ -1)$