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京都大学 2014年理系第1問解説

方針・初手

点 $P$ を直線 $l$ の媒介変数表示を用いて設定する。直線 $m,\, n$ 上の点 $Q,\, R$ もそれぞれ媒介変数を用いて表し、垂線である条件（方向ベクトルとの内積が $0$）から $Q,\, R$ の座標を決定し、$PQ^2,\, PR^2$ を計算する。
あるいは、正射影ベクトルを用いて点と直線の距離の 2 乗を求める手法も有効である。

解法1（垂線の条件と内積）

点 $P$ は直線 $l$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OP} = (1, 0, -2) + t(2, 1, -1) = (1+2t,\ t,\ -2-t) $$

点 $Q$ は直線 $m$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OQ} = (1+s,\ 2-s,\ -3+s) $$

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (s-2t,\ 2-s-t,\ s+t-1) $$

$PQ \perp m$ より $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{v} = 0$（$\vec{v} = (1,-1,1)$）：

$$ \overrightarrow{PQ} \cdot \vec{v} = (s-2t) - (2-s-t) + (s+t-1) = 3s - 3 = 0 \implies s = 1 $$

$s=1$ を代入して $\overrightarrow{PQ} = (1-2t,\ 1-t,\ t)$。

$$ PQ^2 = (1-2t)^2 + (1-t)^2 + t^2 = 6t^2 - 6t + 2 $$

点 $R$ は直線 $n$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} = (1+k,\ -1+2k,\ k) $$

$$ \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = (k-2t,\ 2k-t-1,\ k+t+2) $$

$PR \perp n$ より $\overrightarrow{PR} \cdot \vec{w} = 0$（$\vec{w} = (1,2,1)$）：

$$ \overrightarrow{PR} \cdot \vec{w} = (k-2t) + 2(2k-t-1) + (k+t+2) = 6k - 3t = 0 \implies k = \frac{t}{2} $$

$k = \dfrac{t}{2}$ を代入して $\overrightarrow{PR} = \left(-\dfrac{3}{2}t,\ -1,\ \dfrac{3}{2}t+2\right)$。

$$ PR^2 = \frac{9}{4}t^2 + 1 + \left(\frac{3}{2}t+2\right)^2 = \frac{9}{2}t^2 + 6t + 5 $$

$$ PQ^2 + PR^2 = (6t^2 - 6t + 2) + \left(\frac{9}{2}t^2 + 6t + 5\right) = \frac{21}{2}t^2 + 7 $$

これは $t=0$ のとき最小値 $\mathbf{7}$ をとる。このとき $P(1, 0, -2)$。

解法2（正射影ベクトル）

点 $P = (1+2t,\, t,\, -2-t)$ に対して、$\overrightarrow{BP} = (2t,\, t-2,\, 1-t)$ とおく。

$$ \overrightarrow{BP} \cdot \vec{v} = 2t - (t-2) + (1-t) = 3, \quad |\vec{v}|^2 = 3 $$

$$ PQ^2 = |\overrightarrow{BP}|^2 - \frac{(\overrightarrow{BP} \cdot \vec{v})^2}{|\vec{v}|^2} = (6t^2 - 6t + 5) - \frac{9}{3} = 6t^2 - 6t + 2 $$

次に $\overrightarrow{CP} = (2t,\, t+1,\, -t-2)$ とおく。

$$ \overrightarrow{CP} \cdot \vec{w} = 2t + 2(t+1) + (-t-2) = 3t, \quad |\vec{w}|^2 = 6 $$

$$ PR^2 = |\overrightarrow{CP}|^2 - \frac{(\overrightarrow{CP} \cdot \vec{w})^2}{|\vec{w}|^2} = (6t^2 + 6t + 5) - \frac{9t^2}{6} = \frac{9}{2}t^2 + 6t + 5 $$

$$ PQ^2 + PR^2 = \frac{21}{2}t^2 + 7 $$

$t=0$ のとき最小値 $7$、$P(1, 0, -2)$。

解説

空間内の直線どうしの距離を扱う典型的な問題である。点 $P$ を 1 つの媒介変数で表し、そこから他の 2 直線への垂線の長さを計算するという素直な解法が有効である。

解法1のように垂線の足 $Q,\, R$ を媒介変数で置いて「内積ゼロ」で処理するのが標準的だが、解法2のように正射影ベクトルを用いると計算量を削減できる。特に本問では $\overrightarrow{BP} \cdot \vec{v} = 3$ が $t$ によらない定数になるという構造があり、これが計算を大幅に楽にしている。