京都大学 2023年 文系 第2問 解説

方針・初手

点 $R$ が直線 $OD$ 上にあることから $\overrightarrow{OR} = k\overrightarrow{OD}$ とおき、直線 $QR$ と直線 $PC$ の交点 $S$ の位置ベクトル $\overrightarrow{OS}$ を2通りに表します。4点 $O, A, B, C$ は同一平面上にない（一次独立である）ため、$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ の係数を比較することで $k$ の値を求めます。

解法1

点 $P$ は線分 $OA$ を $1:2$ に内分するので $\overrightarrow{OP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}$、点 $Q$ は線分 $OB$ の中点なので $\overrightarrow{OQ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}$。

点 $R$ は直線 $OD$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} = k\overrightarrow{OD} = k\overrightarrow{OA} + 2k\overrightarrow{OB} + 3k\overrightarrow{OC} $$

と表せる。直線 $QR$ と直線 $PC$ の交点を $S$ とする。

点 $S$ は直線 $QR$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OS} &= (1-s)\overrightarrow{OQ} + s\overrightarrow{OR} \\ &= sk\overrightarrow{OA} + \left( \frac{1-s}{2} + 2sk \right)\overrightarrow{OB} + 3sk\overrightarrow{OC} \quad \cdots ① \end{aligned}$$

また、点 $S$ は直線 $PC$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OS} &= (1-t)\overrightarrow{OP} + t\overrightarrow{OC} \\ &= \frac{1-t}{3}\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OC} \quad \cdots ② \end{aligned}$$

4点 $O, A, B, C$ は同一平面上にないため $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ は一次独立である。①と②の各係数を比較すると、

$$ \begin{cases} sk = \dfrac{1-t}{3} & \cdots ③ \\ \dfrac{1-s}{2} + 2sk = 0 & \cdots ④ \\ 3sk = t & \cdots ⑤ \end{cases} $$

⑤を③に代入して、

$$ sk = \frac{1 - 3sk}{3} \implies 6sk = 1 \implies sk = \frac{1}{6} $$

これを④に代入して、

$$ \frac{1-s}{2} + \frac{1}{3} = 0 \implies 3(1-s) + 2 = 0 \implies s = \frac{5}{3} $$

$s = \dfrac{5}{3}$ と $sk = \dfrac{1}{6}$ より、

$$ k = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{10} $$

したがって $\overrightarrow{OR} = \dfrac{1}{10}\overrightarrow{OD}$ となり、点 $R$ は線分 $OD$ を $1:9$ に内分する点である。

よって、$OR : RD = 1 : 9$。

解説

空間ベクトルにおいて「2直線の交点」を扱う典型問題です。交点の位置ベクトルを2つの直線上の点としてそれぞれ文字を用いて表し、基底（一次独立なベクトル）の係数比較に持ち込むという王道の手順で確実に解くことができます。

式②において $\overrightarrow{OB}$ の係数が $0$ になることに着目すると、連立方程式の計算をスムーズに進めることができます。

答え

$OR : RD = 1 : 9$