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京都大学 2023年文系第5問解説

方針・初手

定積分を含む方程式において、積分区間が $-1$ から $1$ までの定数であるため、積分結果は $x$ に無関係な定数になります。

被積分関数 $(x-y)^2 f(y)$ を $y$ について展開し、$y$ に無関係な $x$ を積分の外にくくり出します。そして、残った定積分をそれぞれ別の文字（例えば $A, B, C$）でおくことで、$f(x)$ がどのような整式になるか（ここでは2次以下の整式）を決定し、連立方程式を立てるという定石パターンです。

解法1

与えられた等式の定積分を展開して整理する。

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^1 (x - y)^2 f(y) dy &= \int_{-1}^1 (x^2 - 2xy + y^2) f(y) dy \\ &= x^2 \int_{-1}^1 f(y) dy - 2x \int_{-1}^1 y f(y) dy + \int_{-1}^1 y^2 f(y) dy \end{aligned} $$

ここで、定積分は定数となるので、実数 $A, B, C$ を用いて次のように置く。

$$ A = \int_{-1}^1 f(y) dy, \quad B = \int_{-1}^1 y f(y) dy, \quad C = \int_{-1}^1 y^2 f(y) dy \quad \cdots ① $$

これらを与式に代入すると、

$$ f(x) + A x^2 - 2B x + C = 2x^2 + x + \frac{5}{3} $$

整理して、$f(x)$ の式を得る。

$$ f(x) = (2 - A) x^2 + (1 + 2B) x + \left(\frac{5}{3} - C\right) \quad \cdots ② $$

②を①の各定義式に代入し、$A, B, C$ についての連立方程式を立てる。積分区間が $[-1, 1]$ であるため、奇数次の項の定積分が $0$ になることを利用する。

[1] $A$ の計算

$$ \begin{aligned} A &= \int_{-1}^1 \left\{ (2 - A) y^2 + (1 + 2B) y + \left(\frac{5}{3} - C\right) \right\} dy \\ &= 2 \int_0^1 \left\{ (2 - A) y^2 + \left(\frac{5}{3} - C\right) \right\} dy \\ &= 2 \left( \frac{2 - A}{3} + \frac{5}{3} - C \right) \\ &= \frac{14 - 2A - 6C}{3} \end{aligned} $$

両辺に $3$ を掛けて整理すると、

$$ 5A + 6C = 14 \quad \cdots ③ $$

[2] $B$ の計算

$$ \begin{aligned} B &= \int_{-1}^1 y \left\{ (2 - A) y^2 + (1 + 2B) y + \left(\frac{5}{3} - C\right) \right\} dy \\ &= 2 \int_0^1 (1 + 2B) y^2 dy \\ &= \frac{2(1 + 2B)}{3} \end{aligned} $$

両辺に $3$ を掛けて整理すると、

$$ 3B = 2 + 4B \iff B = -2 $$

[3] $C$ の計算

$$ \begin{aligned} C &= \int_{-1}^1 y^2 \left\{ (2 - A) y^2 + (1 + 2B) y + \left(\frac{5}{3} - C\right) \right\} dy \\ &= 2 \int_0^1 \left\{ (2 - A) y^4 + \left(\frac{5}{3} - C\right) y^2 \right\} dy \\ &= 2 \left( \frac{2 - A}{5} + \frac{5 - 3C}{9} \right) \end{aligned} $$

両辺に $45$ を掛けて整理すると、

$$ 18A + 75C = 86 \quad \cdots ④ $$

③と④の連立方程式を解く。③より $6C = 14 - 5A$。④を2倍した $36A + 150C = 172$ に代入すると、

$$ 36A + 25(14 - 5A) = 172 $$

$$ -89A = -178 \iff A = 2 $$

$A = 2$ を③に代入して、$C = \dfrac{2}{3}$。

以上より $A = 2,\ B = -2,\ C = \dfrac{2}{3}$。これらを②に代入すると、

$$ f(x) = 0 \cdot x^2 + (1 - 4) x + 1 = -3x + 1 $$

解説

「積分区間が定数の定積分」を含む方程式の最も標準的なパターンです。積分変数 $y$ 以外の文字（ここでは $x$）はインテグラルの外に出せることを利用します。

本問では展開によって3つの定積分が生じるため、変数が $A, B, C$ の3つになり連立方程式の計算量がやや多くなります。しかし、積分区間が $[-1, 1]$ と原点に関して対称であるため、偶関数・奇関数の性質（奇数次数の項の積分は $0$）を使えば、計算の手間とミスを大幅に減らすことができます。