トップ› 京都大学› 1979年› 理系第1問

京都大学 1979年理系第1問解説

方針・初手

それぞれの整式は最高次の係数が $1$ であるから、次数に応じて係数を文字で置いて積分を計算する。「どんな整式 $f(x)$ に対しても」という条件は、$f(x)$ の基底となる $1, x, x^2, \cdots$ に対して積分が $0$ になることと同値であることを利用して、未定係数を決定していく。積分区間が $[-1, 1]$ であるため、偶関数・奇関数の定積分の性質を活用すると計算が容易になる。

解法1

$P_n(x)$ の最高次の係数が $1$ であることから、それぞれの整式を次のように表す。

$$ P_1(x) = x + a $$

$$ P_2(x) = x^2 + bx + c $$

$$ P_3(x) = x^3 + dx^2 + ex + f $$

(i)について

条件より、任意の定数 $C$ に対して

$$ \int_{-1}^{1} P_1(x) C dx = 0 $$

これが成り立つためには、$C=1$ のときに成り立てば十分であり、またそのとき任意の $C$ についても成り立つ。

$$ \int_{-1}^{1} (x + a) dx = 0 $$

奇関数・偶関数の定積分の性質を用いると、

$$ 2 \int_{0}^{1} a dx = 2 \left[ ax \right]_{0}^{1} = 2a = 0 $$

よって、$a = 0$ となり、

$$ P_1(x) = x $$

(ii)について

$1$ 次以下の任意の整式 $f(x)$ は、$p, q$ を定数として $f(x) = px + q$ と表せる。条件より、

$$ \int_{-1}^{1} P_2(x) (px + q) dx = 0 $$

これが任意の $p, q$ について成り立つためには、$f(x) = 1$ および $f(x) = x$ のそれぞれについて積分が $0$ になることが必要十分である。

$f(x) = 1$ のとき：

$$ \int_{-1}^{1} (x^2 + bx + c) \cdot 1 dx = 0 $$

偶関数・奇関数の性質より、

$$ 2 \int_{0}^{1} (x^2 + c) dx = 2 \left[ \frac{1}{3}x^3 + cx \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{3} + c \right) = 0 $$

したがって、$c = -\frac{1}{3}$ となる。

$f(x) = x$ のとき：

$$ \int_{-1}^{1} (x^2 + bx + c) \cdot x dx = \int_{-1}^{1} (x^3 + bx^2 + cx) dx = 0 $$

同様に計算して、

$$ 2 \int_{0}^{1} bx^2 dx = 2 \left[ \frac{b}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}b = 0 $$

したがって、$b = 0$ となる。以上より、

$$ P_2(x) = x^2 - \frac{1}{3} $$

(iii)について

$2$ 次以下の任意の整式 $f(x)$ に対しても積分が $0$ になるためには、（ii）と同様に考えて $f(x) = 1, x, x^2$ のそれぞれについて積分が $0$ になればよい。

$f(x) = 1$ のとき：

$$ \int_{-1}^{1} (x^3 + dx^2 + ex + f) \cdot 1 dx = 0 $$

$$ 2 \int_{0}^{1} (dx^2 + f) dx = 2 \left( \frac{d}{3} + f \right) = 0 $$

よって、$d + 3f = 0$ $\cdots$ (1)

$f(x) = x$ のとき：

$$ \int_{-1}^{1} (x^3 + dx^2 + ex + f) \cdot x dx = 0 $$

$$ \int_{-1}^{1} (x^4 + dx^3 + ex^2 + fx) dx = 0 $$

$$ 2 \int_{0}^{1} (x^4 + ex^2) dx = 2 \left( \frac{1}{5} + \frac{e}{3} \right) = 0 $$

よって、$e = -\frac{3}{5}$

$f(x) = x^2$ のとき：

$$ \int_{-1}^{1} (x^3 + dx^2 + ex + f) \cdot x^2 dx = 0 $$

$$ \int_{-1}^{1} (x^5 + dx^4 + ex^3 + fx^2) dx = 0 $$

$$ 2 \int_{0}^{1} (dx^4 + fx^2) dx = 2 \left( \frac{d}{5} + \frac{f}{3} \right) = 0 $$

よって、$3d + 5f = 0$ $\cdots$ (2)

(1), (2) を連立して解くと、$d = 0, f = 0$ となる。以上より、

$$ P_3(x) = x^3 - \frac{3}{5}x $$

解説

本問は「ルジャンドル多項式」を題材とした直交多項式の問題である。「$k$ 次以下のどんな整式 $f(x)$ に対しても $\int_{-1}^{1} P_n(x)f(x) dx = 0$」という条件は、$f(x)$ として $x^0, x^1, \dots, x^k$ を代入して得られる条件と必要十分である。この事実を用いると、積分区間が $[-1, 1]$ であることから奇関数の積分が $0$ になる性質（$\int_{-1}^{1} x^{2n+1} dx = 0$）を有効に活用でき、未定係数の連立方程式を大幅に簡略化できる。