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京都大学 2016年文系第4問解説

方針・初手

空間ベクトルを導入し、四面体の 1 つの頂点を原点として、他の 3 頂点の位置ベクトルを設定します。
頂点から対面へ下ろした垂線が「対面の重心」を通るという条件を、ベクトルの垂直条件（内積が 0）を用いて立式します。
導かれた連立方程式を整理し、四面体のすべての辺の長さが等しいことを示します。

解法1

$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \vec{c}$ とおく。

頂点 A からの垂線条件

$\triangle\text{OBC}$ の重心 $\text{G}_A$ の位置ベクトルは $\vec{OG_A} = \dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$ であるから、

$$ \vec{AG_A} = \vec{OG_A} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{3} - \vec{a} $$

直線 $\text{AG}_A$ は平面 $\text{OBC}$ に垂直であるから、$\vec{AG_A} \perp \vec{b}$ かつ $\vec{AG_A} \perp \vec{c}$。

$\vec{AG_A} \cdot \vec{b} = 0$ より、

$$ \left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3} - \vec{a}\right)\!\cdot\vec{b} = 0 \implies |\vec{b}|^2 + \vec{b}\cdot\vec{c} - 3\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \quad \cdots \text{①} $$

$\vec{AG_A} \cdot \vec{c} = 0$ より、

$$ \left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3} - \vec{a}\right)\!\cdot\vec{c} = 0 \implies \vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 - 3\vec{a}\cdot\vec{c} = 0 \quad \cdots \text{②} $$

頂点 B からの垂線条件

$\triangle\text{OAC}$ の重心 $\text{G}_B$ は $\vec{OG_B} = \dfrac{\vec{a}+\vec{c}}{3}$ であるから、

$$ \vec{BG_B} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{3} - \vec{b} $$

$\vec{BG_B} \cdot \vec{a} = 0$ より、

$$ |\vec{a}|^2 + \vec{a}\cdot\vec{c} - 3\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \quad \cdots \text{③} $$

$\vec{BG_B} \cdot \vec{c} = 0$ より、

$$ \vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 - 3\vec{b}\cdot\vec{c} = 0 \quad \cdots \text{④} $$

頂点 C からの垂線条件

$\triangle\text{OAB}$ の重心 $\text{G}_C$ は $\vec{OG_C} = \dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{3}$ であるから、

$$ \vec{CG_C} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{3} - \vec{c} $$

$\vec{CG_C} \cdot \vec{a} = 0$ より、

$$ |\vec{a}|^2 + \vec{a}\cdot\vec{b} - 3\vec{a}\cdot\vec{c} = 0 \quad \cdots \text{⑤} $$

$\vec{CG_C} \cdot \vec{b} = 0$ より、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 - 3\vec{b}\cdot\vec{c} = 0 \quad \cdots \text{⑥} $$

内積の値を決定する

$\text{②} - \text{④}$ を計算すると、

$$ (\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 - 3\vec{a}\cdot\vec{c}) - (\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 - 3\vec{b}\cdot\vec{c}) = 0 $$

$$ 4\vec{b}\cdot\vec{c} - 4\vec{a}\cdot\vec{c} = 0 \implies \vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} \quad \cdots \text{⑦} $$

$\text{①} - \text{⑥}$ を計算すると、

$$ (|\vec{b}|^2 + \vec{b}\cdot\vec{c} - 3\vec{a}\cdot\vec{b}) - (\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 - 3\vec{b}\cdot\vec{c}) = 0 $$

$$ 4\vec{b}\cdot\vec{c} - 4\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \implies \vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{b} \quad \cdots \text{⑧} $$

⑦、⑧ より、3 つの内積はすべて等しい。この共通の値を $k$ とおくと、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} = k \quad \cdots \text{⑨} $$

各辺の長さを決定する

⑨ を① に代入すると、$|\vec{b}|^2 + k - 3k = 0$ より

$$ |\vec{b}|^2 = 2k \quad \cdots \text{⑩} $$

⑨ を③ に代入すると、$|\vec{a}|^2 + k - 3k = 0$ より

$$ |\vec{a}|^2 = 2k \quad \cdots \text{⑪} $$

⑨ を② に代入すると、$k + |\vec{c}|^2 - 3k = 0$ より

$$ |\vec{c}|^2 = 2k \quad \cdots \text{⑫} $$

⑩⑪⑫ より、$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 2k$ となり、

$$ \text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = \sqrt{2k} $$

が示された。次に、辺 $\text{AB},\ \text{BC},\ \text{CA}$ の長さを調べる。

$$ \text{AB}^2 = |\vec{b}-\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 2k - 2k + 2k = 2k $$

$$ \text{BC}^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 = 2k - 2k + 2k = 2k $$

$$ \text{CA}^2 = |\vec{a}-\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{a}|^2 = 2k - 2k + 2k = 2k $$

これより、$\text{AB} = \text{BC} = \text{CA} = \sqrt{2k}$。

したがって、$\text{AB} = \text{BC} = \text{CA} = \text{OA} = \text{OB} = \text{OC}$ が成り立ち、6 つの辺の長さがすべて等しいため、四面体 OABC は正四面体である。$\square$

解説

「正四面体であることの証明」は「すべての辺の長さが等しいことの証明」と同値です。立体図形の計量や形状決定においては、空間ベクトルを導入し、長さを「ベクトルの大きさの 2 乗」として、角度や直交条件を「内積」として処理するのが極めて有効な定石です。

本問では「直線と平面が垂直」という条件から、平面上の独立な 2 つのベクトルとの内積が 0 になることを用いて関係式を作ります。合計 6 つの式が得られますが、式の対称性に着目して差をとることで、「すべての内積が等しい」→「すべてのベクトルの大きさが等しい」という結論へスムーズに導くことができます。