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京都大学 1970年理系第3問解説

方針・初手

2つの直線上にある点の長さの条件から、各点の位置関係をベクトルを用いて表現する。 3点が同一直線上にあることを示すには、位置ベクトルを用いてある点が他の2点の内分点であることを示すか、2つのベクトルの実数倍関係を示すのが基本方針となる。

解法1

$A_1A_2 = B_1B_2 = a$、$A_2A_3 = B_2B_3 = b$ とおく（$a>0, b>0$）。

3点 $A_1, A_2, A_3$ はこの順に直線 $l$ 上にあるから、点 $A_2$ は線分 $A_1A_3$ を $a:b$ に内分する。空間内の任意の点 $O$ を基準とした位置ベクトルを用いて表すと、以下のようになる。

$$ \vec{OA_2} = \frac{b\vec{OA_1} + a\vec{OA_3}}{a+b} $$

同様に、3点 $B_1, B_2, B_3$ はこの順に直線 $g$ 上にあるから、点 $B_2$ は線分 $B_1B_3$ を $a:b$ に内分する。

$$ \vec{OB_2} = \frac{b\vec{OB_1} + a\vec{OB_3}}{a+b} $$

また、$M_1, M_2, M_3$ はそれぞれ線分 $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ の中点であるから、

$$ \vec{OM_1} = \frac{\vec{OA_1} + \vec{OB_1}}{2} $$

$$ \vec{OM_2} = \frac{\vec{OA_2} + \vec{OB_2}}{2} $$

$$ \vec{OM_3} = \frac{\vec{OA_3} + \vec{OB_3}}{2} $$

$\vec{OM_2}$ の式に $\vec{OA_2}, \vec{OB_2}$ の関係式を代入する。

$$ \vec{OM_2} = \frac{1}{2} \left( \frac{b\vec{OA_1} + a\vec{OA_3}}{a+b} + \frac{b\vec{OB_1} + a\vec{OB_3}}{a+b} \right) $$

$$ = \frac{b(\vec{OA_1} + \vec{OB_1}) + a(\vec{OA_3} + \vec{OB_3})}{2(a+b)} $$

$$ = \frac{b \cdot 2\vec{OM_1} + a \cdot 2\vec{OM_3}}{2(a+b)} $$

$$ = \frac{b\vec{OM_1} + a\vec{OM_3}}{a+b} $$

この式は、点 $M_2$ が線分 $M_1M_3$ を $a:b$ に内分する点であることを表している（$M_1$ と $M_3$ が一致する場合は $M_2$ も同一点となる）。したがって、3点 $M_1, M_2, M_3$ は同一直線上にある。

解法2

直線 $l, g$ の方向ベクトルに着目する。 $A_1A_2 = B_1B_2 = a$、$A_2A_3 = B_2B_3 = b$ とおく（$a>0, b>0$）。

点 $A_1, A_2, A_3$ は直線 $l$ 上にこの順に並ぶので、直線 $l$ の $A_1$ から $A_2$ へ向かう単位方向ベクトルを $\vec{u}$ とすると、

$$ \vec{A_1A_2} = a\vec{u}, \quad \vec{A_2A_3} = b\vec{u} $$

同様に、直線 $g$ の $B_1$ から $B_2$ へ向かう単位方向ベクトルを $\vec{v}$ とすると、

$$ \vec{B_1B_2} = a\vec{v}, \quad \vec{B_2B_3} = b\vec{v} $$

各点の中点の位置ベクトルを空間の原点 $O$ を用いて表す。

$$ \vec{OM_1} = \frac{\vec{OA_1} + \vec{OB_1}}{2} $$

$$ \vec{OM_2} = \frac{\vec{OA_2} + \vec{OB_2}}{2} = \frac{(\vec{OA_1} + a\vec{u}) + (\vec{OB_1} + a\vec{v})}{2} = \vec{OM_1} + \frac{a}{2}(\vec{u} + \vec{v}) $$

$$ \vec{OM_3} = \frac{\vec{OA_3} + \vec{OB_3}}{2} = \frac{(\vec{OA_2} + b\vec{u}) + (\vec{OB_2} + b\vec{v})}{2} = \vec{OM_2} + \frac{b}{2}(\vec{u} + \vec{v}) $$

これより、各中点を結ぶベクトルは以下のようになる。

$$ \vec{M_1M_2} = \vec{OM_2} - \vec{OM_1} = \frac{a}{2}(\vec{u} + \vec{v}) $$

$$ \vec{M_2M_3} = \vec{OM_3} - \vec{OM_2} = \frac{b}{2}(\vec{u} + \vec{v}) $$

ここで、$\vec{u} + \vec{v}$ の値によって場合分けを行う。

(i)

$\vec{u} + \vec{v} \neq \vec{0}$ のとき

$$ \vec{M_2M_3} = \frac{b}{a} \vec{M_1M_2} $$

$a>0, b>0$ より、ベクトル $\vec{M_1M_2}$ と $\vec{M_2M_3}$ は実数倍の関係にある。したがって、点 $M_2$ は線分 $M_1M_3$ 上にあり、3点 $M_1, M_2, M_3$ は同一直線上にある。

(ii)

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}$ のとき

$$ \vec{M_1M_2} = \vec{0}, \quad \vec{M_2M_3} = \vec{0} $$

となり、3点 $M_1, M_2, M_3$ はすべて同一の点となる。完全に一致する3点は任意の直線上にあるとみなせるため、同一直線上にあると言える。

(i), (ii) より、いずれの場合も3点 $M_1, M_2, M_3$ は同一直線上にある。

解説

ベクトルの性質を的確に利用できるかを問う基本的な問題である。解法1のように「内分点の公式」を逆手に取ると、場合分けをせずに極めて鮮やかに証明できる。ベクトル方程式の形から図形的な意味（内分）を直ちに読み取る力は、空間ベクトルにおいて非常に有効である。解法2のように、直線の方向ベクトルを設定し、$\vec{M_1M_2}$ と $\vec{M_2M_3}$ の定数倍関係を導く方針も自然な発想である。ただしこの場合、$\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}$ のとき（3点が一点に退化する場合）への言及があると、より論理的に厳密な答案となる。